Postoji li točka (x, y) na krivulji y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, pri kojoj je tangenta paralelna s osi x?

Odgovor:

Nema takve točke, što se tiče moje matematike.

Obrazloženje:

Prvo, razmotrimo uvjete tangente ako je paralelna s #x#-os. Od #x#-os je vodoravna, svaka linija paralelna s njom mora biti i vodoravna; tako slijedi da je tangenta linija vodoravna. I naravno, horizontalne tangente nastaju kada je derivat jednak #0#.

Stoga prvo moramo početi s pronalaženjem izvedenice te monstruozne jednadžbe, što se može postići implicitnom diferencijacijom:

# Y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) LNX #

Koristeći pravilo zbroja, pravilo lanca, pravilo proizvoda, pravilo kvocijenta i algebru, imamo:

# D / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) LNX) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) (LNX) + (x + x / y) (LNX) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) (LNX) + (x + x / y) (LNX) #

# -> dy / dx * 1 / y = (1 + (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (LNX) + (x + x / y) (1 / x) *

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + LNX ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + LNX (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + (LNX) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2-LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (+ ylnx LNX + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((+ ylnx LNX + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) *

# -> dy / dx = (y (ylnx + LNX + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … to je bilo intenzivno. Sada postavimo derivativ jednak #0# i vidjeti što će se dogoditi.

# 0 = (y (ylnx + LNX + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + LNX + 1 + y #

# -Ylnx-y = LNX + 1 #

# -Y (LNX + 1) = LNX + 1 #

#Y (LNX + 1) = - (LNX + 1) #

#Y = (- (LNX + 1)) / (LNX + 1) #

# Y = -1 #

Zanimljiv. Sada uključimo # Y = -1 # i vidjeti za što dobivamo #x#:

# Y = x ^ (x (1 + 1 / y)) *

# -1-x ^ (x (1 + 1/1)) *

# -1-x ^ (X (1-1)) *

# -1-x ^ 0 #

#-1=1#

Budući da je ovo kontradikcija, zaključujemo da nema točaka koje bi zadovoljile taj uvjet.

Odgovor:

Ne postoji takva tangenta.

Obrazloženje:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) equiv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #, Sada zovem #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # imamo

#df = f_x dx + f_y dy = (djelomični u) / (djelomični x) dx + (djelomični v) / (djelomično y) dy = 0 # zatim

# dy / dx = - ((djelomični u) / (djelomični x)) / ((djelomični v) / (djelomični y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Vidimo to # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # ali te vrijednosti moraju potvrditi:

#f (x, y_0) = 0 # i

#f (x_0, y) = 0 #

U prvom slučaju, # y_0 = 1 # imamo

# x ^ x = -1 # što nije dostupno u stvarnoj domeni.

U drugom slučaju, # x_0 = e ^ {- 1} # imamo

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # ili

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

ali

# y / (y + 1) log_e y> -1 # tako da nema pravog rješenja.

Zaključno, ne postoji takva tangenta.

Odgovor:

Odgovor iz Dr, Cawa K, x = 1 / e, je precizan.

Obrazloženje:

Predložio sam ovo pitanje kako bih precizno dobio tu vrijednost. Zahvaljujući

Dr. Cawas za odlučan odgovor koji odobrava to otkriće

dvostruka preciznost y 'ostaje 0 oko tog intervala. y je

kontinuirano i diferencirano na x = 1 / e. Kao oboje 17-sd double

preciznost y i y 'su 0, u ovom intervalu oko x = 1 / e, to je bio a

pretpostavka da x-os dodiruje graf između. I sada je

dokazao. Mislim da je dodir transcendentalan.,