Par pravih šestostranih kocki baca se osam puta. Nađite vjerojatnost da je rezultat veći od 7 bodova ne više od pet puta?

Odgovor:

#~=0.9391#

Obrazloženje:

Prije nego što uđemo u samo pitanje, razgovarajmo o metodi za njegovo rješavanje.

Recimo, na primjer, da želim objasniti sve moguće rezultate od tri puta okretanja fer novčića. Mogu dobiti HHH, TTT, TTH i HHT.

Vjerojatnost H je #1/2# i vjerojatnost za T je također #1/2#.

Za HHH i za TTT, to jest # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # svaki.

Za TTH i HHT to je također # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # svaki, ali budući da mogu postojati 3 načina na koji mogu dobiti svaki rezultat, on završava # 3xx1 / 8 = 3/8 # svaki.

Kada sumiram ove rezultate, dobivam #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - što znači da sada imam sve moguće rezultate flip kovanice.

Primijetite da ako postavim # H # biti # P # i stoga imaju # T # biti # P-#, i također primijetiti da imamo liniju iz Pascalovog trokuta #(1,3,3,1)#, postavili smo oblik:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C ^ (n, k) (p) ^ k ((p-) ^ (n-k)) *

i tako u ovom primjeru dobivamo:

# = C ^ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) 3 ^ C ^ + (3.1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C ^ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ C ^ 1 + (3.3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Sada možemo riješiti problem.

Dobili smo broj peciva kao 8, dakle # N = 8 #.

# P # je zbroj veći od 7. Da bismo pronašli vjerojatnost dobivanja sume veće od 7, pogledajmo moguće role:

# ((Boja (bijeli) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Od 36 mogućnosti, 15 role daje sumu veću od 36, što daje vjerojatnost od #15/36=5/12#.

S # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Možemo napisati cijelu sumu mogućnosti - od dobivanja svih 8 kotrljanja koje su veće od 7 sve do dobivanja svih 8 svitaka kao zbroj od 7 ili manje:

# = C ^ (8.0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ C ^ 0 + (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ C ^ 1 + (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C ^ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ C ^ 3 + (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ C ^ 4 + (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ C ^ 5 + (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ C ^ 6 + (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ C ^ 7 + (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

ali smo zainteresirani da sumiramo samo one pojmove koji imaju više od 7 iznosa koji se događaju 5 puta ili manje:

# = C ^ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ C ^ 3 + (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ C ^ 4 + (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ C ^ 5 + (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ C ^ 6 + (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ C ^ 7 + (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Odgovor:

#0.93906#

Obrazloženje:

# "So P ishod> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "pojavljuje se k puta na 8 bacanja" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

# "(binomna distribucija)" #

# "s" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(kombinacije)" #

# "Dakle," #

#P "pojavljuje se najviše 5 puta na 8 bacanja" #

# = 1 - P "pojavljuje se 6, 7 ili 8 puta na 8 bacanja" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#