Sila koja se primjenjuje na objekt koji se horizontalno kreće na linearnoj stazi opisuje se s F (x) = x ^ 2-3x + 3. Koliko se kinetička energija objekta mijenja dok se objekt kreće iz x u [0, 1]?

Odgovor:

Newtonov drugi zakon gibanja:

# F = m * a #

Definicije ubrzanja i brzine:

# A = (du) / dt #

# U = (dx) / dt #

Kinetička energija:

# K = m * u ^ 2/2 #

Odgovor je:

# ΔK = 11/6 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Obrazloženje:

Newtonov drugi zakon gibanja:

# F = m * a #

# X ^ 2-3x + 3 = m * a #

Uvrštavanjem # A = (du) / dt # ne pomaže s jednadžbom, jer # F # ne daje se kao funkcija # T # ali kao funkcija #x# Međutim:

# A = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Ali # (Dx) / dt = u # tako:

# A = (dx) / dt * (du) / dx = * u (du) / dx #

Zamjenjujući u jednadžbu koju imamo, imamo diferencijalnu jednadžbu:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (X ^ 2-3x + 3) dx = m * # udu

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * # udu

Dvije brzine su nepoznate, ali pozicije #x# su poznati. Također, masa je konstantna:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) udu #

# X ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2/2 u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m ^ * u_2 2/2 #

Ali # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Bilješka: jedinice su # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 # samo ako su dane udaljenosti # (x u 0,1) # su u metrima.