Što je integral e ^ (x ^ 3)?

Ovaj sastavni dio ne možete izraziti u smislu elementarnih funkcija.

Ovisno o tome za što vam je potrebna integracija, možete odabrati način integracije ili neki drugi.

Integracija putem power series

Sjetite se toga # E ^ x # je analitički #mathbb {R} #, Dakle #forall x u mathbb {R} # vrijedi sljedeća jednakost

# E ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

i to znači

# E ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = Sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Sada možete integrirati:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integracija putem nepotpune gama funkcije

Prvo, zamjena # T = -X ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Funkcija # E ^ {x ^ 3} # je kontinuirano. To znači da su njezine primitivne funkcije #F: mathbb {R} za matbb {R} # tako da

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ t} t ^ 2/3} dt #

i to je dobro definirano zbog funkcije #F (t) = e ^ { t t ^ { 2/3 # je takva za #t do 0 # drži se #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, tako da je nepravilan integral # int_0 ^ s f (t) dt # je konačan (zovem # e = y ^ 3 #).

Imate to

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Primijetite to #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #, To znači za #t to + infty # to smo dobili #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, tako da # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #, Dakle, slijedeći neprikladan integral od #F (t) # je ograničeno:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = gama (1/3) #.

Možemo pisati:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

to je

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1 / 3 int_s ^ {+ infty} e ^ t} t ^ {1/3 -1} dt #.

Na kraju ćemo dobiti

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gamma (1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3) #