Što je kvadratni korijen od 89?

Odgovor:

Kvadratni korijen od #89# je broj koji daje kvadrat #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Obrazloženje:

Od #89# je premijera, #sqrt (89) * ne može se pojednostavniti.

Možete ga približiti pomoću Newton Raphsonove metode.

Volim ga preformulirati na sljedeći način:

pustiti #n = 89 # biti broj koji želite kvadratni korijen od.

izabrati # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # tako da # P_0 / q_0 # je razumna racionalna aproksimacija. Od tih odabranih vrijednosti sam izabrao #89# je na pola puta između #9^2 = 81# i #10^2 = 100#.

Ponovite postupak pomoću formula:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

To će dati bolju racionalnu aproksimaciju.

Tako:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Dakle, ako bismo ovdje stali, dobili bismo procjenu:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Idemo još jedan korak:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Tako smo dobili aproksimaciju:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Ova Newton Raphsonova metoda brzo se približava.

#COLOR (bijeli) () #

Zapravo, prilično dobra jednostavna aproksimacija za #sqrt (89) * je #500/53#, od #500^2 = 250000# i #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Ako na to primijenimo jedan iteracijski korak, dobivamo bolju aproksimaciju:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#COLOR (bijeli) () #

Fusnota

Svi kvadratni korijeni pozitivnih cijelih brojeva ponavljaju nastavke proširenja dijelova, koje također možete koristiti za racionalne aproksimacije.

Međutim, u slučaju #sqrt (89) * nastavak proširenja dijelova je pomalo neuredan pa nije lijepo raditi s:

#sqrt (89) = 9; bar (2, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

Aproksimacija #500/53# gore je #9; 2, 3, 3, 2#