Kako pojednostavnite root3 (1)?

Odgovor:

#1# ili #1^(1/3)# =#1#

Obrazloženje:

Kubirani korijen 1 jednak je podizanju 1 na snagu #1/3#, 1 na snagu svega je još uvijek 1.

Odgovor:

Radimo u stvarima koje dobivamo #root 3 {1} = 1 #.

Svaki kompleksni broj koji nije nula ima tri korijena kocke, tako da postoji

#root 3 {1} = 1 ili -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Obrazloženje:

Ako radimo u stvarnim brojevima, samo napominjemo #root 3 {1} = korijen 3 {1 ^ 3} = 1 #, Pretpostavljam da je riječ o složenim brojevima.

Jedna od neobičnih stvari koje otkrijemo kada prelazimo u kompleksne brojeve je ta funkcija #F (z) = e ^ {z} # je periodično. Eksponencijalni rast je svojevrsna suprotnost periodičnom, pa je to iznenađenje.

Ključna činjenica je Eulerov identitet na kvadrat. Ja to zovem Eulerov istinski identitet.

# e ^ {2

Pokazuje se Eulerov istinski identitet # E ^ z # je periodično s razdobljem # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Možemo podići Eulerov istinski identitet na bilo koju cjelobrojnu snagu # K #:

# e ^ {2

Kakve to ima veze s kubnim korijenom jedne? To je ključ. Kaže da postoji brojno beskonačan broj načina pisanja. Neki od njih imaju različite korijene kocke od drugih. To je razlog zašto ne-cjelobrojni eksponenti uzrokuju višestruke vrijednosti.

To je sve veliki vjetar. Obično ih započnem pisanjem:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # za cijeli broj # K #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k) / 3) + i sin (2pi k / 3) #

Posljednji korak je, naravno, Eulerova formula # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta.

Budući da imamo # 2pi # periodičnosti trigonometrijskih funkcija (koje proizlaze iz periodičnosti eksponencijalne i Eulerove formule) imamo jedinstvene vrijednosti samo za tri uzastopna # K #a. Procijenimo ovo za # K = 0,1, -1 #:

# K #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# K #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# K #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Tako dobivamo tri vrijednosti za kubni korijen od jednog:

#root 3 {1} = 1 ili -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #