Raspon e ^ x / ([x] +1), x> 0 i gdje [x] označava najveći broj?

Odgovor:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Obrazloženje:

Pretpostavljam #x# je najmanji cijeli broj veći od #x#, U sljedećem odgovoru upotrijebit ćemo notaciju #ceil (x) *, naziva se funkcija stropa.

pustiti #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #, Od #x# je strogo veći od #0#, to znači da je domena # F # je # (0 + oo) #.

Kao #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # i od # E ^ x # uvijek je pozitivan, # F # je uvijek strogo veći od #0# u svojoj domeni. Važno je to napomenuti # F # je ne injekcija i također nije kontinuirana na prirodnim brojevima. Da to dokažemo, pusti # # N biti prirodan broj:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Jer #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Slično tome, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Budući da ograničenja lijeve i desne strane nisu jednaka, # F # nije kontinuirano na cijelim brojevima. Također, UL> R # za sve #n u NN #.

Kao # F # se povećava u intervalima ograničenim pozitivnim prirodnim brojevima, "najmanja vrijednost" po intervalu će biti jednaka #x# prilazi donjoj granici s desne strane.

Dakle, minimalna vrijednost # F # će biti

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

To je donja granica raspona # F #.

Iako to nije doista točno reći # F # raste, u smislu, asimptotski, približava se beskonačnosti - kao što je pokazano u nastavku:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Kao #ceilx> = x #, postoji #delta <1 # tako da # Ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

pustiti #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# E ^ u # povećava se eksponencijalno # U # to radi linearno, što znači

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Stoga raspon # F # je

# "Raspon" = (1/2, oo) #

Interval je otvoren s lijeve strane jer #http: // 2 # je još uvijek #F (0) #, i kao #x# pristupi #0^+#, #F (x) * samo pristupi #http: // 2 #; nikad nije istina.