Da li a_n = x ^ n / n ^ x konvergira za bilo koji x?

Odgovor:

#"Ne"#

Obrazloženje:

# "Ako je" x = -1 ", imamo" a_n = n * (- 1) ^ n "i ovo se mijenja" #

# "između" -oo "i" + oo "za" n-> oo, "ovisno o" # "

# "ako je n neparan ili paran."

# "Ako" x <-1 ", situacija postaje još gora."

# "Postoji samo konvergencija za" x> -1. #

U bitci je bilo više zmajeva nego vitezova. Zapravo, omjer zmajeva i vitezova bio je 5 prema 4. Ako je bilo 60 vitezova, koliko je zmajeva bilo tamo?

Bilo je 75 zmajeva. Počnimo tako što ćemo napisati dio onoga što već znamo: "5 zmajeva" / "4 vitezova" = "x zmajeva" / "60 vitezova" Možemo prelaziti množenje koje nam daje: 300 = 4x Podijelite obje strane sa 4, dobiti 75. Znači imaš 75 zmajeva.

S kojim eksponentom moć bilo kojeg broja postaje 0? Kao što znamo (bilo koji broj) ^ 0 = 1, što će biti vrijednost x u (bilo koji broj) ^ x = 0?

Vidi ispod Neka je z kompleksan broj sa strukturom z = rho e ^ {i phi} s rho> 0, rho u RR i phi = arg (z) možemo postaviti ovo pitanje. Za koje se vrijednosti n u RR pojavljuje z ^ n = 0? Razvijanje malo više z ^ n = rho ^ ne ^ {u phi} = 0-> e ^ {u phi} = 0 zbog hipoteze rho> 0. Dakle, koristeći Moivreov identitet e ^ {u phi} = cos (n phi) ) + i sin (n phi) zatim z ^ n = 0-> cos (n phi) + i sin (n phi) = 0-> n phi = pi + 2k pi, k = 0, pm1, pm2, pm3, cdots Konačno, za n = (pi + 2k pi) / phi, k = 0, pm1, pm2, pm3, cdots dobivamo z ^ n = 0

Pretpostavimo, a_n je monotono i konvergira i b_n = (a_n) ^ 2. Hoće li b_n nužno konvergirati?

Da. Neka je l = lim_ (n -> + oo) a_n. a_n je monotono pa će b_n također biti monotono, a lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) (a_n) ^ 2 = (lim_ (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = l ^ 2. To je kao s funkcijama: ako f i g imaju konačnu granicu na a, tada će proizvod f.g imati granicu na a.