Tijelo je pronađeno u 10 sati u skladištu gdje je temperatura bila 40 ° F. Liječnik je utvrdio da je temperatura tijela 80 ° F. Koje je bilo približno vrijeme smrti?

Odgovor:

Približno vrijeme smrti je #8:02:24# ja.

Važno je napomenuti da je to temperatura kože tijela. Medicinski istražitelj bi mjerio unutarnju temperaturu koja bi se smanjila mnogo sporije.

Obrazloženje:

Newtonov zakon hlađenja navodi da je brzina promjene temperature proporcionalna razlici u temperaturi okoline. tj

# (dT) / (dt) nosač T - T_0 #

Ako #T> T_0 # onda bi se tijelo trebalo ohladiti tako da derivat bude negativan, stoga unosimo konstantu proporcionalnosti i dolazimo do

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Umnožavanje zagrada i prebacivanje informacija o primanju:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Može sada koristiti metodu integracijskog faktora rješavanja ODE-a.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Pomnožite obje strane po #Ne (x) * dobiti

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Primijetite da pomoću pravila o proizvodu možemo prepisati LHS, ostavljajući:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integrirajte obje strane u # T #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Podijeli po # ^ E (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Prosječna temperatura ljudskog tijela je # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58,6 #

pustiti # T_f # biti vrijeme u kojem je tijelo pronađeno.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58,6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58,6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / (0,1947) #

#t_f = 1.96 h #

Dakle, od vremena smrti, pod pretpostavkom da se tijelo odmah počelo hladiti, trebalo je 1,96 sati da dostigne 80 ° F u kojem trenutku je pronađeno.

# 1.96hr = 117.6min #

Približno vrijeme smrti je #8:02:24# sam