Što je lim_ (xrarr1 + +) x ^ (1 / (1-x)) kada se x približava 1 s desne strane?

# 1 / e #

# ^ X (1 / (1-x)) *:

grafikon {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Pa, ovo bi bilo mnogo lakše kad bismo jednostavno uzeli # LN # obje strane. Od # ^ X (1 / (1-x)) * je kontinuirano u otvorenom intervalu desno od #1#, možemo reći da:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Od #ln (1) = 0 # i #(1 - 1) = 0#, ovo je forma #0/0# i pravilo L'Hopital se primjenjuje:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

I naravno, # 1 / x # je kontinuirano sa svake strane #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Zbog toga je izvorno ograničenje:

#color (plava) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = boja (plava) (1 / e) #