Što je jednadžba parabole s fokusom na (-15, -19) i direktni od y = -8?

Odgovor:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Obrazloženje:

Budući da je directrix vodoravna linija, znamo da je parabola okomito orijentirana (otvara se ili gore ili dolje). Budući da je y koordinata fokusa (-19) ispod directrixa (-8), znamo da se parabola otvara. Oblik vrha jednadžbe za ovu vrstu parabole je:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Gdje je h koordinata tocke, k je koordinirana od vrha, a žarišna udaljenost, f, je polovica udaljenosti od usmjernice prema fokusu:

#f = (y _ ("fokus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

Koordinata y vrha, k, je f plus y koordinata directrixa:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

X koordinata vrha, h, jednaka je x koordinati fokusa:

#h = -15 #

Zamjenom tih vrijednosti u jednadžbu 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Pojednostavljivanje:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Odgovor:

# X ^ 2 + + 30x 22y + 522 = 0 #

Obrazloženje:

Parabola je mjesto točke, koja se pomiče tako da je udaljenost od linije, nazvana directix, i točka, nazvana fokus, jednaki.

Znamo da je udaljenost između dvije točke # (X_1, y_1) # i # X_2, y_2) # daje se pomoću #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) * i

udaljenost između točke # (X_1, y_1) # i crta # Ax + by + c = 0 # je # | Ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) *.

Sada udaljenost od točke # (X, y) # na parabola iz fokusa na #(-15,-19)# je #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) *

i udaljenost od directrix # Y = -8 # ili # Y + 8 = 0 # je # | Y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Dakle, jednadžba parabole bi bila

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # ili

# (X + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # ili

# X ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # ili

# X ^ 2 + + 30x 22y + 522 = 0 #

graf {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5, 23.5, -35.28, 4.72}