Dva ugla jednakostraničnog trokuta nalaze se u (7, 5) i (3, 6). Ako je područje trokuta 6, koje su duljine stranica trokuta?

Odgovor:

Postoji nekoliko načina za to; način s najmanje koraka objašnjen je u nastavku.

Pitanje je dvosmisleno o tome koje su dvije strane iste duljine. U ovom objašnjenju pretpostavit ćemo da su dvije strane jednake duljine one koje tek treba pronaći.

Obrazloženje:

Jedna dužina strane možemo shvatiti samo iz koordinata koje smo dobili.

# A = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) *

# A = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) *

# A = sqrt (16 + 1) #

# A = sqrt17 #

Tada možemo upotrijebiti formulu za područje trokuta u smislu duljina stranica da bismo shvatili # B # i # C #.

# A = sqrt (s (i-a) (i-b) (i-c)) *

gdje # e = (a + b + c) / 2 # (zove se semiperimeter)

Od # A = sqrt (17) # je poznato i pretpostavljamo # b = C #, imamo

# e = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#COLOR (crveno) (i = sqrt17 / 2 + b) #

Zamijeni ovo u gornju formulu, kao i # A = 6 # i # A = sqrt17 #, dobivamo

# 6 = sqrt ((boja (crvena) (sqrt (17) / 2 + b)) (boja (crvena) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (boja (crvena) (sqrt (17) / 2 + b) b) (boja (crvena) (sqrt (17) / 2 + b) b)) *

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) *

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2), (b-sqrt (17) / 2)) *

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) *

# 144/17-b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4-b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68-b ^ 2 #

# 865/68-b ^ 2 #

# b = sqrt (865/68) = C #

Naše rješenje je # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Bilješka 1:

Moguće je imati trokut s dvije strane duljine #sqrt (17) # i područje # A = 6 # (to jest, imati # A = b = sqrt (17) # umjesto # b = C #). To će dovesti do drugačijeg rješenja.

Bilješka 2:

Također smo to pitanje mogli riješiti pronalaženjem koordinata treće točke. To bi uključivalo:

a) pronalaženje duljine poznate strane # S #

b) pronalaženje nagiba # M # između dvije zadane točke

c) pronalaženje središta # (X_1, y_1) # između dvije zadane točke

d) pronalaženje "visine" # # H ovog trokuta # A = 1/2 ah #

e) pomoću nagiba visine #m_h = (- 1) / m #

f) koristeći obje formule s nagibnom točkom # M_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # i formula visine # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) * riješiti za jednu od koordinata 3. točke # (X_2, y_2) #

g) nakon kombiniranja tih dviju jednadžbi, pojednostavljivanje prinosa

# X_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) uključivanje poznatih vrijednosti za # # H, # M_h #, i # X_1 # dobiti # X_2 #

i) koristeći jednu od dvije jednadžbe iz (f) # Y_2 #

j) pomoću formule udaljenost pronaći preostale (identične) duljine stranica

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = kvadratni korijen ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2), #

Možete vidjeti zašto je prva metoda lakša.