Voda se uliva u cilindričnu zdjelu visine 10 ft i radijusa 3 ft, brzinom od 5 "ft" 3 / "min". U kojoj mjeri se razina vode povećava?

Odgovor:

# = (5) / (9 pi) # ft / min

Obrazloženje:

Za određenu visinu, # # Htekućine u cilindru ili radijusu # R #, glasnoća je

#V = pi r ^ 2 h #

Diferencijalno vrijeme

#dot V = 2 pi r dot r h + pi r ^ 2 točka h # ali #dot r = 0 # tako

#dot V = pi r ^ 2 točka h #

# točka h = točka V / (pi r ^ 2) #

# = (5) / (pi (3 ^ 2)) #

# = (5) / (9 pi) # ft / min

Visina trokuta se povećava brzinom od 1,5 cm / min, dok se površina trokuta povećava brzinom od 5 kvadratnih cm / min. Po kojoj se brzini baza trokuta mijenja kada je visina 9 cm, a površina 81 kvadratni cm?

To je problem tipa povezanih stopa (promjene). Interesne varijable su a = visina A = područje i, budući da je površina trokuta A = 1 / 2ba, trebamo b = bazu. Dane brzine promjene su u jedinicama po minuti, tako da je (nevidljiva) nezavisna varijabla t = vrijeme u minutama. Dobili smo: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min. Od nas se traži da pronađemo (db) / dt kada je a = 9 cm i A = 81cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, diferencirajući se s obzirom na t, dobivamo: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Trebat ćemo pravilo o proizvodu s desne strane. (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a + 1 / 2b (da) / dt Dobili smo

Voda se ispušta iz konusnog spremnika promjera 10 stopa i dubine 10 stopa s konstantnom brzinom od 3 ft3 / min. Koliko brzo padne razina vode kada je dubina vode 6 ft?

Omjer radijusa, r gornje površine vode prema dubini vode, w je konstanta ovisna o ukupnim dimenzijama konusa r / w = 5/10 rarr r = w / 2 Volumen konusa voda se dobiva po formuli V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w ili, u smislu samo w za danu situaciju V (w) = pi / (12) w ^ 3 (dV) / (dw) = pi / 4w ^ 2 rarr (dw) / (dV) = 4 / (piw ^ 2) Rečeno nam je da (dV) / (dt) = -3 (cu.ft./min.) (dw) / ( dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) = (- 12) / (piw ^ 2) Kada je w = 6 dubina vode je mijenja se brzinom od (dw) / (dt) (6) = = (-12) / (pi * 36) = -1 / (3pi) izraženo u brzini pada razine vode, kada dubina vode je 6 stopa, voda

Voda istječe iz obrnutog koničnog spremnika brzinom od 10.000 cm3 / min u isto vrijeme kada se voda pumpa u spremnik konstantnom brzinom Ako je spremnik visine 6m, a promjer na vrhu 4 m i ako se razina vode povećava brzinom od 20 cm / min kada je visina vode 2 m, kako ćete naći brzinu kojom se voda pumpa u spremnik?

Neka je V volumen vode u spremniku, u cm ^ 3; neka je h dubina / visina vode, u cm; i neka je r polumjer površine vode (na vrhu), u cm. Budući da je spremnik obrnuti konus, tako je i masa vode. Budući da je spremnik visine 6 m i radijusa na vrhu 2 m, slični trokuti impliciraju da frak {h} {r} = frak {6} {2} = 3 tako da je h = 3r. Volumen obrnutog konusa vode je tada V = frak {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Sada razlikujte obje strane s obzirom na vrijeme t (u minutama) da biste dobili frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (pravilo lanca se koristi u ovom korak). Ako je V_ {i} volumen vode koja je upumpana, t