Pitanje # dbd28

Odgovor:

Definirajte udaljenost između grafa i točke kao funkciju i pronađite minimum.

Poanta je #(3.5,1.871)#

Obrazloženje:

Da biste znali koliko su blizu, morate znati udaljenost. Euklidska udaljenost je:

#sqrt (Δx ^ 2 + Δy ^ 2) *

gdje su Δx i Δy razlike između 2 točke. Da bi bila najbliža točka, ta točka mora imati minimalnu udaljenost. Stoga postavljamo:

#F (x) = kvadratni korijen ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2), #

#F (x) = x kvadratni korijen (^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2), #

#F (x) = x kvadratni korijen (^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#F (x) = x kvadratni korijen (^ 2-8x + 16 + x) #

#F (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) *

Sada moramo pronaći minimum ove funkcije:

#F "(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) + (x ^ 2-7x + 16) #

#F "(x) = (2 x-7) / (2x sqrt (x ^ 2-7x + 16)) *

Nazivnik je uvijek pozitivan kao funkcija kvadratnog korijena. Numerator je pozitivan kada:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3.5 #

Dakle, funkcija je pozitivna kada #x> 3.5 #, Slično tome, može se dokazati da je negativna #x <3.5 # Dakle, postoji funkcija #F (x) * ima minimum od # X = 3,5 #, što znači da je udaljenost najmanje # X = 3,5 # Koordinata y od # Y = x ^ (1/2) # je:

# Y = 3,5 ^ (1/2) = sqrt (3,5) = 1.871 #

Konačno, točka na kojoj se promatra najmanje udaljenost od (4,0) je:

#(3.5,1.871)#