Dokazati da je element integralne domene jedinica za koju se generira domena.

Dokazati da je element integralne domene jedinica za koju se generira domena.
Anonim

Odgovor:

Tvrdnja je pogrešna.

Obrazloženje:

Razmislite o prstenu brojeva obrasca:

# A + bsqrt (2) #

gdje #a, b u QQ #

To je komutativni prsten s multiplikativnim identitetom #1 != 0# i bez podjele nula. To jest, ona je integralna domena. U stvari, to je i polje jer svaki element koji nije nula ima multiplikativnu inverznu.

Multiplikativno obrnuto od nultog elementa oblika:

# a + bsqrt (2) "" # je # "" a / (a ^ 2-2b ^ 2) -b / (a ^ 2-2b ^ 2) sqrt (2) #.

Tada je svaki ne-nula racionalan broj jedinica, ali ne generira cijeli prsten, budući da će podskupina koju on generira sadržavati samo racionalne brojeve.