Kako mogu riješiti ovu diferencijalnu jednadžbu?

Odgovor:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Obrazloženje:

Ovo je odvojiva diferencijalna jednadžba, što jednostavno znači da je moguće grupirati #x# Pojmovi & # Y # pojmovi na suprotnim stranama jednadžbe. Dakle, ovo ćemo prvo raditi:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Sada, želimo dobiti dy na strani s y i dx na strani s x. Morat ćemo malo reorganizirati:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Sada integriramo obje strane:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Učinimo svaki integralni dio:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Prvo, podijelimo ovo na 2 odvojena integrala pomoću pravila zbrajanja / oduzimanja:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Izgledaju nekako dosadno. Međutim, možemo im dati malo makeover-a da bi izgledali ljepše (i mnogo lakše riješili):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Oba su sada jednostavna # U #integralne zamjene. Ako ste postavili #u = -x # i # -3x # odnosno, dobit ćete odgovor kao:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

# Ako negativni eksponent učinimo pozitivnim, dobivamo:

#int (vi ^ y) dy #

Za to ćemo morati koristiti integraciju. Formula je:

#int (uv) dy = UV-int (v * du) #

Namjestit ćemo #u = y #, i #dv = e ^ y dy #, Razlog je što želimo lako # Du # za tu konačnu integraciju, a također i zato # E ^ y # vrlo je lako integrirati.

Tako:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Sada samo priključujemo i puckemo:

# => int (vi ^ y) dy = vi ^ y - int (e ^ y) dy #

# = vi ^ y - e ^ y #

Vratiti sve:

# vi ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Uklanjanje negativnih eksponenta:

# vi ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

I to je prilično pristojan konačni odgovor. Ako ste htjeli riješiti # Y #Mogao bi, i završio bi s tim

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Primijetite da nemamo # + C # na LHS ove jednadžbe. Razlog za to je da, čak i ako smo ga stavili, mi bismo ga u konačnici oduzeli od RHS-a, a proizvoljna konstanta minus proizvoljna konstanta je još uvijek (čekamo) proizvoljnu konstantu. Dakle, za te probleme sve dok imate svoje # + C # na bilo kojoj strani jednadžbe, bit ćete dobro.

Nadam se da je to pomoglo:)