Neka je V = R3 i W = {(x, y, z) x + y + z = 0} podprostor V. Koja od sljedećih parova vektora su u istom skupu od W u V? (I) (1,3,2) i (2.2.2), (ii) (1,1,1) i (3.3.3).

Odgovor:

# #

# mbox {i)} (1,3,2) mbox {i} (2,2,2): #

# qquad qquad qquad mbox {pripadaju istom skupu}} W. #

# mbox {ii)} (1,1,1) mbox {i} (3,3,3): #

# qquad qquad qquad mbox {ne pripada istom skupu}} W. #

Obrazloženje:

# #

# mbox {1) Imajte na umu da, s obzirom na dan na} W, mbox {možemo opisati} mbox {elemente} W mbox {kao one vektore} V t mbox {gdje je} mbox {zbroj koordinata}}

# #

# mbox {2) Sada podsjetite da:} #

# mbox {dva vektora pripadaju istom skupu bilo kojeg potprostora} #

# qquad qquad qquad qquad

# qquad mbox {njihova razlika pripada samom podprostoru}. #

# #

# mbox {3) Tako da se odredi članstvo u istom skupu} W, mbox {je potrebno i dovoljno da se odredi da li} mbox {razlika tih vektora pripada}} W: # t

# qquad {v_1}, {v_2} u mbox {isti coset}} w quad if quad {{v_1} - {{v_2} |.

# #

# mbox {Stoga, prema opisu} W {mbox {u (1) gore, imamo:} #

# {v_1}, {v_2} u mbox {isti coset} W quad if quad mbox {zbroj koordinata}} {{v_1} - {{v_2}) = 0. #

# #

# mbox {To je stvar ovog jednostavnog izračuna.} #

# #

# 4) Mbox {Nastavljajući s dva zadana para vektora, i} mbox {obavljanjem ovog računanja na svakom paru, nalazimo: #

# quad mbox {i)} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {i tako} #

# qquad qquad mbox {zbroj koordinata}} quad (-1,1,0) = 0. #

# mbox {Stoga:} qquad qquad (1,3,2) mbox {i} (2,2,2) #

# mkk {pripadaju istom skupu}}. #

# #

# quad mbox {ii)} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {i tako} #

# qquad qquad mbox {zbroj koordinata}} quad (2,2,2) = 6 ne 0. #

# mbox {stoga:} qquad qquad (1,1,1) mbox {i} (3,3,3) #

# qquad quad quad mbox {ne pripadaju istom skupu}} W. #