Kako integrirati int x ^ lnx?

Odgovor:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Obrazloženje:

Počinjemo s u-zamjenom s # U = u (x) *, Tada ćemo podijeliti s derivatom od # U # integrirati s obzirom na # U #:

# (Du) / dx = 1 / x #

#int x ln (x) dx = int x * x ^ u t

Sada moramo riješiti #x# u smislu # U #:

# U = u (x) *

# X = e ^ u #

d = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du # int t

Možete pretpostaviti da to nema elementarni anti-derivat, a vi biste bili u pravu. Međutim, možemo koristiti oblik zamišljene funkcije pogreške, #erfi (x) *:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2)

Da bismo dobili naš integral u ovaj oblik, možemo imati samo jednu kvadratnu varijablu u eksponentu # E #, tako da moramo dovršiti kvadrat:

# U ^ 2 + = u (u + 1/2) ^ 2 + k #

# U ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# K = -1/4 #

# U ^ 2 + = u (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ (u + 1/2) ^ 2)

Sada možemo uvesti u-zamjenu s # T = u + 1/2 #, Derivacija je pravedna #1#, tako da ne trebamo učiniti ništa posebno integrirati s obzirom na # T #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2 * erfi (t) + C #

Sada možemo poništiti sve zamjene:

#E ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (u + 1/2), C = + e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Kako integrirati int sec ^ -1x putem integracije po metodi dijelova?

Odgovor je = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C Trebamo (sec ^ -1x) '= ("arc" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) Integracija po dijelovima je intu'v = uv-intuv 'Ovdje imamo u' = 1, =>, u = xv = "arc "secx, =>, v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Stoga, int" arc "secxdx = x" arc "secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) Izvedite drugi integral pomoću supstitucije Neka je x = secu, =>, dx = sekutanudu sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) ) / (tanu) = intsecudu = int (secu (sec

Kako integrirati int e ^ x sinx cosx dx?

Int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Prvo možemo koristiti identitet: 2sinthetacostheta = sin2x koji daje: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Sada možemo koristiti integraciju po dijelovima. Formula je: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx I neka f (x) = sin ( 2x) i g '(x) = e ^ x / 2. Primjenjujući formulu, dobivamo: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Sada možemo integrirati dijelove još jednom , ovo vrijeme s f (x) = cos (2x) i g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos ( 2x) e ^ x-int -in

Kako integrirati int sqrt (-x ^ 2-6x + 16) / xdx pomoću trigonometrijske supstitucije?

Pogledajte odgovor u nastavku: