Integral od 1 / sqrt (tanx) dx =?

Odgovor:

# 1 / (sqrt2) tan ^ 1 ((tanx-1), / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) + 1) / (tanx-sqrt (2tanx) 1) | + C #

Obrazloženje:

Počinjemo s u-zamjenom s # U = sqrt (tanx) #

Derivacija od # U # je:

# (Du) / dx = (s ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)) *

tako da se po tome dijelimo da bismo se integrirali s obzirom na # U # (i zapamtite, dijeljenje s frakcijom jednako je množenju s njegovim recipročnim):

#int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx)) / sec ^ 2x

# = int / sec ^ 2x

Budući da se ne možemo integrirati #x#S obzirom na # U #, koristimo sljedeći identitet:

# Sec ^ 2 theta = tan ^ 2 theta + 1 #

To daje:

#int 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + u ^ 4) du = 2int 1 / (1 + u ^ 4) du # 1

Ovaj preostali integral koristi prilično zamornu djelomičnu dekompoziciju, pa to ovdje neću raditi. Pogledajte ovaj odgovor ako vas zanima kako je razrađen:

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

# 2int 1 / (1 + u ^ 4) du = 2 (1 / (2sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (4sqrt2) ln | 2-sqrt2u + 1) / (z ^ 2-sqrt2u + 1) |) + C = #

# = 1 / (sqrt2) tan ^ 1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (2sqrt2) ln | (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (z ^ 2-sqrt2u + 1) | + C #

Ponovna uspostava # U = sqrt (tanx) #, dobivamo:

# 1 / (sqrt2) tan ^ 1 ((tanx-1), / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) + 1) / (tanx-sqrt (2tanx) 1) | + C #

Odgovor:

# = 1 / sqrt (2) -1 ^ tan ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (tanx + 1 sqrt (2tanx)) / (tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #

Obrazloženje:

# I-Int1 / sqrt (tanx) dx #

Neka, #sqrt (tanx) = t => tanx-t ^ 2 => sec ^ 2xdx = 2tdt #

# => (1 + tan ^ 2x) dx = 2tdt => dx = (2tdt) / (1+ (t ^ 2) ^ 2 #

#:. I = Int1 / cancelt * (* 2 * cancelt dt) / (1 + t ^ 4) = Int2 / (1 + t ^ 4) dt #

# = Int (t ^ 2 + 1) / (1 + t ^ 4) dt-int (t ^ 2-1) / (1 + t ^ 4) dt = int (1 + 1 / t ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt #

# = Int (1 + 1 / t ^ 2) / ((1-t / t) ^ 2 + 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / ((t + 1 / t) ^ 2- 2) dt #

Uzeti,# (T-1 / t) = uand (t + 1 / t) v ## => (1 + 1 / t ^ 2), dt = duand (1-1 / t ^ 2), dt = dv ## => I = Int1 / (z ^ 2 + (sqrt (2)) ^ 2) du-Int1 / (v ^ 2- (sqrt (2)) ^ 2), dv = 1 / sqrt (2) tan ^ - 1 (u / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (v-sqrt2) / (v + sqrt2) | + c = 1 / sqrt (2) -1 ^ tan ((t-1 / t) / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((t + 1 / t) -sqrt2) / ((t + 1 / t) + sqrt2) | + c ## = 1 / sqrt (2) -1 (tan ^ (t ^ 2-1) / (SQRT (2) t)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((t ^ 2 + 1 sqrt (2) t)) / ((t ^ 2 + 1 + sqrt (2) t)) | + c #

# = 1 / sqrt (2) -1 ^ tan ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (tanx + 1 sqrt (2tanx)) / (tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #