Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Izračunaj vrijednost očekivanja u bilo koje kasnije vrijeme t = t_1, phi_n su energetske svojstva beskonačnog potencijala dobro. Napišite odgovor u smislu E_0?

Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Izračunaj vrijednost očekivanja u bilo koje kasnije vrijeme t = t_1, phi_n su energetske svojstva beskonačnog potencijala dobro. Napišite odgovor u smislu E_0?
Anonim

Pa, shvaćam # 14 / 5E_1 #… i s obzirom na vaš odabrani sustav, ne može se ponovno izraziti u smislu # E_0 #.

Postoji toliko mnogo pravila kvantne mehanike u ovom pitanju …

  • # Phi_0 #, budući da koristimo beskonačna potencijalna rješenja za bunare, nestaje automatski … #n = 0 #, Dakle #sin (0) = 0 #.

A za kontekst smo to dopustili #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

  • to je nemoguće napisati odgovor u smislu # E_0 # jer #n = 0 # NE postoje za beskonačnu potencijalnu bušotinu. Osim ako ne želiš česticu iščeznuti , Moram to napisati u smislu # E_n #, #n = 1, 2, 3,.,, #…

  • Energija je konstanta kretanja, tj. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Sada …

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) grijeh ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

Očekivana vrijednost je konstanta kretanja, tako da nam nije važno koje vrijeme # T_1 # mi biramo. Inače, ovo nije konzervativni sustav …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # za neke #n = 1, 2, 3,.,, #

U stvari, mi već znamo što bi trebao biti, jer je Hamiltonian za jednodimenzionalnu beskonačnu potencijalnu bušotinu vremenski NEZAVISNO …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

i # (E ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # idite na 1 u integralu:

#color (plava) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

gdje smo pustili #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #, Opet, svi faktori faze poništavaju, i napominjemo da izvan-dijagonalni izrazi idu na nulu zbog ortogonalnosti # Phi_n #.

Nazivnik je norma # Psi #, koji je

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Stoga, # << Psi | Psi >> = 5/6 #, To daje:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) poništi (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) poništi (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) poništi (e ^ (iE_2t_http: //))) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) poništavanje (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Primijeni derivate:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) / ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((piks) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Konstante se pojavljuju:

# = 6/5 1/3 (2 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

I ovaj je integral poznat iz fizičkih razloga da je na pola puta #0# i # L #, nezavisno od # # N:

# = 6/5 1/3 (2 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (2 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = boja (plava) (14/5 E_1) #

Odgovor:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Obrazloženje:

Svako stacionarno stanje odgovara svojstvenoj vrijednosti energije # E_n # uzima faktor faze #e ^ {- iE_n t} # o evoluciji vremena. Dano stanje je ne stacionarno stanje - budući da se radi o superpoziciji vlastitih energetskih stanja različitih svojstava. Kao rezultat toga, on će se vremenom razvijati na ne-trivijalan način. Međutim, Schro- dingerova jednadžba koja upravlja vremenskom evolucijom stanja je linearna - tako da se svaka svojstvena funkcija energije razvija neovisno - skupljajući svoj vlastiti fazni faktor.

Dakle, početna valna funkcija

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

evoluira s vremenom # T # do

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Dakle, vrijednost očekivanja energije u vremenu # T # daje se pomoću

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 /} t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) vremena phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

gdje smo koristili činjenicu da je #phi_i (x) * su svojstvene funkcije energije, tako da #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

To nam i dalje daje devet uvjeta. Međutim, konačni izračun je dosta pojednostavljen činjenicom da su svojstvene funkcije energije orto-normalizirane, tj oni se pokoravaju

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

To znači da od devet integrala preživljavaju samo tri, a mi dobivamo

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Koristeći standardni rezultat koji #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, imamo # E_1 = 4E_0 # i # E_2 = 9E_0 # za dobro beskonačni potencijal (možda ste više naviknuti na izraz koji kaže #E_n propto n ^ 2 # za beskonačnu bušotinu - ali u tim je osnovno stanje označeno # E_1 # - ovdje ga označavamo # E_0 # - otuda i promjena). Tako

# <E> = (1/6 puta 1 + 1/3 puta 4 + 1/2 puta 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Bilješka:

  1. Dok se pojedinačne energetske funkcije energije razvijaju u vremenu, prikupljanjem faktora faze, ukupna valna funkcija ne razlikuju se od početne samo s faznim faktorom - zato više nije stacionarno stanje.
  2. Uključeni integrali

    # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i /} t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} puta int_-infty infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

    i izgledaju kao da ovise o vremenu. Međutim, jedini integrali koji preživljavaju su oni za # I = j # - a to su upravo one za koje se otkazuje vremenska ovisnost.

  3. Posljednji rezultati uklapaju se u činjenicu da #hat {H} # je konzervirana - iako stanje nije stacionarno stanje - vrijednost očekivanja energije je neovisna o vremenu.
  4. Izvorna valna funkcija od tada je već normalizirana # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # i ova normalizacija je sačuvana u evoluciji vremena.
  5. Mogli smo smanjiti mnogo posla da smo koristili standardni kvantno-mehanički rezultat - ako je valna funkcija proširena u obliku #psi = sum_n c_n phi_n # gdje je # Phi_n # su svojstvene funkcije ermitskog operatora #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, onda # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, pod uvjetom, naravno da su države ispravno normalizirane.
Račun
Izbor urednika