Riješite diferencijalnu jednadžbu: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = 16y? Porazgovarajte o tome kakva je to diferencijalna jednadžba i kada ona može nastati?

Odgovor:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Obrazloženje:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = 16y #

najbolje napisano kao

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad trokut #

što pokazuje da je to linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda

ima karakterističnu jednadžbu

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

što se može riješiti kako slijedi

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

ovo je ponovljeni korijen pa je opće rješenje u formi

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

ovo je ne-oscilirajuće i modelira neku vrstu eksponencijalnog ponašanja koje stvarno ovisi o vrijednosti A i B. Moglo bi se pretpostaviti da bi to mogao biti pokušaj modeliranja populacije ili interakcije između grabljivaca i grabljivaca, ali ne mogu reći ništa posebno.

to pokazuje nestabilnost i to je sve što mogu reći o tome

Odgovor:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Obrazloženje:

Diferencijalna jednadžba

# (D ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

je jednadžba linearnog homogenog konstantnog koeficijenta.

Za te jednadžbe opće rješenje ima strukturu

#y = e ^ {lambda x} #

Zamjenili smo

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8 lambda + 16) = 0 #

Ovdje # e ^ {lambda x} ne 0 # tako da rješenja moraju biti poslušna

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Rješavanje dobivamo

# Lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Kada se korijeni ponavljaju, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # također je rješenje. U slučaju # # N korijeni se ponavljaju, imat ćemo rješenja:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # za # I = 1,2, cdots, n #

Dakle, da bismo zadržali broj početnih uvjeta, uključimo ih kao neovisna rješenja.

U ovom slučaju imamo

#y = C_1e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

što rezultira

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Te se jednadžbe pojavljuju pri modeliranju linearnih lumpiranih parametarskih sustava kao što su oni koji se nalaze u teoriji linearnih krugova ili linearnoj mehanici. Te se jednadžbe normalno obrađuju pomoću operativnih algebarskih metoda kao što su Laplace Transform metode