Pitanje # 90cf3 + Primjer

Odgovor:

Da bismo pronašli korijene jednadžbi # e ^ x = x ^ 3 #, Preporučujem da koristite metodu rekurzivne numeričke analize, koja se zove Newtonova metoda

Obrazloženje:

Učinimo primjer.

Da biste koristili Newtonovu metodu, napišete jednadžbu u obliku #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

prebrojavati #F "(x) *:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Budući da metoda zahtijeva da radimo isti izračun mnogo puta, dok se ne konvergira, preporučujem da koristite Excelovu proračunsku tablicu; ostatak mog odgovora sadržavat će upute o tome kako to učiniti.

Unesite dobru pretpostavku za x u ćeliju A1. Za ovu jednadžbu unesite 2.

U ćeliju A2 unesite sljedeće:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Napominjemo da je gore navedeni jezik za proračunske tablice programa Excel

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Kopirajte sadržaj ćelije A2 u A3 do A10. Nakon samo 3 ili 4 rekurzije možete vidjeti da je metoda konvergirana

#x = 1.857184 #

Odgovor:

Možemo koristiti teorem o srednjoj vrijednosti kako bismo vidjeli da svaki par ima barem jedno sjecište.

Obrazloženje:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # je kontinuirano na cijeloj pravoj liniji.

Na # X = 0 #, imamo #F (0) = 1 #.

Na # x = 1 #, imamo #f (-1) = 1 / e-1 # što je negativno.

# F # je kontinuirano #-1,0#, tako da postoji barem jedan # C # u #(-1,0)# s #F (c) = 0 #.

#G (x) = e ^ x-x ^ 3 # je kontinuirano na cijeloj pravoj liniji.

Na # X = 0 #, imamo #G (0) = 1 #.

Na # X = 2 #, imamo #g (2) = e ^ 2-8 # što je negativno.

(Imajte na umu to # e ^ 2 ~~ 2,7 ^ 2 <7,3 <8 #.)

# G # je kontinuirano #0,2#, tako da postoji barem jedan # C # u #(0,2)# s #G (c) = 0 #.