Koji su lokalni ekstremi, ako ih ima, od f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Odgovor:

Parabolae imaju točno jedan ekstrem, vrh.

to je #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Od # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # svugdje je funkcija konkavna svugdje i ova točka mora biti minimalna.

Obrazloženje:

Imate dva korijena za pronalaženje vrh parabole: jedan, koristite račun da biste pronašli su izvedenica je nula; dva, izbjegavajte račun po svaku cijenu i samo dovršite trg. Koristit ćemo računicu za praksu.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, moramo uzeti derivat ovoga.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Linearnošću izvedenice koju imamo

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Koristeći pravilo moći, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # imamo

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Postavili smo to jednako nuli da bismo pronašli kritične točke, lokalni i globalni minimumi i maksimumi, a ponekad i točke infleksije imaju derivate nule.

# 0 = 2x + 9 # #=># # X = -9/2 #,

tako da imamo jednu kritičnu točku # X = -9/2 # ili #-4 1/2#.

Da biste pronašli koordinatu y kritične točke u kojoj se nalazimo # X = -9/2 # natrag u funkciju, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Kritična točka / vrh je #(-4 1/2, -19 1/4)#.

To znamo zbog toga #A> 0 #, ovo je maksimum.

Da bismo formalno pronašli da li je to maksimum ili minimum, moramo napraviti drugi test izvedenica.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Drugi derivat je 2 na svim vrijednostima x. To znači da je posvuda veća od nule, a funkcija je svugdje konkavna (s parabolom #A> 0 # nakon svega), tako da ekstremi moraju biti minimalni, vrh.