Što je integral int sin ^ 3 (x) cos ^ 3 (x) dx?

Odgovor:

#int sin ^ 3 x cos ^ 3 x d x = 1 / 4sin ^ 4 x-1 / 5sin ^ 5 x + C #

Obrazloženje:

#int sin ^ 3 x cos ^ 3 x d x =? "" sin x = u "" cos x d x = d u #

#int sin ^ 3 x * cos ^ 2 x * cos x * d x "" cos ^ 2 x = 1-sin ^ 2 x #

#int u ^ 3 (1-sin ^ 2) d u "" u u 3 (1-u ^ 2) d u "" int (u ^ 3-u ^ 5) d u #

#int sin ^ 3 x cos ^ 3 x d x = 1 / 4u ^ 4-1 / 5u ^ 5 + C #

#int sin ^ 3 x cos ^ 3 x d x = 1 / 4sin ^ 4 x-1 / 5sin ^ 5 x + C #

Pokazati da cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Malo sam zbunjen ako napravim Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), postat će negativan kao cos (180 ° -teta) = - costheta u drugi kvadrant. Kako mogu dokazati pitanje?

Pogledajte dolje. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Što je integral int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Naš veliki problem u ovom integralu je korijen pa ga se želimo riješiti. To možemo učiniti uvođenjem supstitucije u = sqrt (2x-1). Derivacija je tada (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Dakle, dijelimo kroz (i zapamtimo, dijeljenjem s recipročnim je isto kao i množenjem samo nazivnikom) da bismo se integrirali s obzirom na u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / otkazati (sqrt (2x-1)) otkazati (sqrt (2x-1)) du = int t U Sada je sve što trebamo učiniti je izraziti x ^ 2 u smislu u (budući da ne možete integrirati x s obzirom

Što je integral int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Možemo koristiti supstituciju za uklanjanje cos (x). Dakle, upotrijebimo grijeh (x) kao naš izvor. u = sin (x) Što onda znači da ćemo dobiti, (du) / (dx) = cos (x) Pronalaženje dx će dati, dx = 1 / cos (x) * du Sada zamjenjujući izvorni integral sa zamjenom, int_ u ^ 3 * cos (x) * 1 / cos (x) du Možemo poništiti cos (x) ovdje, int_ u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C Sada podešavanje za u, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C