Gospođa Fox pitala je jesu li njezina klasa zbroj 4,2 i kvadratni korijen od 2 racionalna ili iracionalna? Patrick je odgovorio da će suma biti iracionalna. Navedite je li Patrick ispravan ili netočan. Opravdajte svoje mišljenje.

Odgovor:

Zbroj # 4.2 + sqrt2 # je iracionalan; nasljeđuje nepovratno svojstvo decimalnog proširenja od #sqrt 2 #.

Obrazloženje:

iracionalan broj je broj koji se ne može izraziti kao omjer dvaju prirodnih brojeva. Ako je broj iracionalan, tada se njegova decimalna ekspanzija nastavlja zauvijek bez uzorka i obrnuto.

To već znamo #sqrt 2 # je iracionalan. Njegova decimalna ekspanzija počinje:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Broj #4.2# je racionalno; može se izraziti kao #42/10.# Kada dodamo 4.2 na decimalni ekspanziju #sqrt 2 #, dobivamo:

#sqrt 2 + 4,2 = boja (bijela) + 1,414213562373095 … #

# boja (bijela) (sqrt 2) boja (bijela) + boja (bijela) (4,2 =) + 4,2 #

# boja (bijela) (sqrt 2) boja (bijela) + boja (bijela) (4,2 =) traka (boja (bijela) (+) 5,614213562373095 …) #

Lako se vidi da ova suma također ne prestaje niti ima ponavljajući obrazac, pa je i iracionalna.

Općenito, zbroj racionalnog broja i iracionalnog broja uvijek će biti iracionalan; argument je sličan gore.

Odgovor:

#COLOR (plava) ("točne") #

Obrazloženje:

Ako počnemo s izgovorom da je suma racionalna: Svi racionalni brojevi mogu biti zapisani kao kvocijent dvaju prirodnih brojeva # A / bcolor (bijeli) (88) * #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Proizvod od dva cijela broja je cijeli broj:

Razlika dvaju prirodnih brojeva je cijeli broj:

Tako:

# 5a-21b # je cijeli broj.

# # 5b je cijeli broj.

Stoga:

# (5a-21b) / (5b) # je racionalno.

Ali to znamo #sqrt (2) # je iracionalan, tako da je to kontradikcija iz naše pretpostavke da je suma racionalna, stoga je suma iracionalnog broja i racionalnog broja uvijek iracionalna.