Što je antiderivat od /1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Odgovor:

# 1 / 2arktan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Obrazloženje:

Dakle ovdje imamo integralni:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

Čini se da oblik kvadratne recipročnosti sugerira da bi trigonometrijska supstitucija ovdje djelovala. Dakle, prvo dovršite kvadrat kako biste dobili:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Zatim primijenite zamjenu #u = x-1 # za uklanjanje linearnog:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Tako možemo sigurno mijenjati varijable bez neželjenih nuspojava:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Ovo je idealan oblik za izvršavanje trigonometrijske supstitucije; # u ^ 2 + 1 # sugerira pitagorejski identitet # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, tako da primjenjujemo zamjenu #u = tantheta # pojednostaviti nazivnik:

# (du) / (d theta) = sek ^ 2 theta #

#rArr du = sek ^ 2 theta d theta #

Dakle, integral postaje:

#int 1 / (sek ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sek ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Sada koristimo formulu dvostrukog kuta # cos # kako bi ovaj antiderivative upravljiviji:

#cos (2theta) = 2skok ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Zatim stavite to u integral:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (i ponovno otvaranje pomoću formule dvostrukog kuta za #grijeh#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Sada, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sek ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Konačno, prelazak na stvar:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arktan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #