Koje su uobičajene greške učenici s elipsozima u standardnom obliku?

Standardni obrazac za elipsu (kako ga ja podučavam) izgleda ovako: # (X-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2-1 #.

(h, k) je središte.

udaljenost "a" = koliko se desno / lijevo pomiče iz središta kako bi se pronašle horizontalne krajnje točke.

udaljenost "b" = koliko je daleko gore / dolje za pomicanje iz središta kako biste pronašli okomite krajnje točke.

Mislim da će učenici to često pogrešno misliti # A ^ 2 # je koliko daleko da se odmakne od centra kako bi se pronašle krajnje točke. Ponekad bi to bila velika udaljenost za putovanje!

Također, mislim da se ponekad studenti pogrešno kreću gore / dolje umjesto desno / lijevo kada primjenjuju ove formule na svoje probleme.

Ovdje je primjer za razgovor o:

# (X-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9-1 #

Središte je (1, -4). Trebali biste pomaknuti desno i lijevo "a" = 2 jedinice da biste dobili horizontalne krajnje točke na (3, -4) i (-1, -4). (pogledajte sliku)

Trebate se pomicati gore i dolje "b" = 3 jedinice kako bi dobili okomite krajnje točke na (1, -1) i (1, -7). (pogledajte sliku)

Budući da je a <b, glavna os će biti u vertikalnom smjeru.

Ako je a> b, glavna os će se kretati u horizontalnom smjeru!

Ako trebate saznati bilo kakve druge informacije o elipsama, postavite drugo pitanje!

(Zbunjenost je li # S # i # B # predstavljaju glavni / manji radijus, ili #x#- & # Y #-radii)

Sjetite se da je standardni obrazac za elipsu centrirano u podrijetlu je

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Već, međutim, neki će se usprotiviti gore navedenoj formuli. To su neke škole mišljenja # S # uvijek bi trebao biti veći od # B # i stoga predstavljaju duljinu glavnog radijusa (čak i ako glavni radijus leži u vertikalnom smjeru, čime se omogućuje # Y ^ 2 / a ^ 2 # u takvom slučaju), dok drugi smatraju da bi uvijek trebao predstavljati #x#-radius (čak i ako #x#-radius je manji radijus).

Isto vrijedi i za # B #, premda obrnuto. (tj. neki vjeruju u to # B # uvijek bi trebao biti manji radijus, a drugi vjeruju da bi uvijek trebao biti # Y #-radius).

Provjerite znate li koju metodu preferira vaš instruktor (ili program koji koristite). Ako ne postoji jaka sklonost, onda jednostavno odlučite za sebe, ali biti u skladu sa svojom odlukom, Promjena misli na pola puta kroz zadatak učinit će stvari nejasnima i promijeniti vaš um na pola puta kroz jednu problem samo će dovesti do pogrešaka.

(Zbunjenost radijusa / osi)

Čini se da većina pogrešaka u elipsama proizlazi iz ove konfuzije o tome koji je radijus veliki i koji je manji. Druge moguće greške mogu nastati ako se zamijeni glavni radijus s glavnom osi (ili manjim radijusom s manjom osi). Glavna (ili manja) osovina jednaka je dvostrukom većem (ili manjem) radijusu, budući da je u biti veći (ili manji) promjer. Ovisno o stupnju na kojem se zbunjenost događa, to može dovesti do ozbiljnih pogrešaka u mjerilu za elipsu.

(Radius / radius squared confusion)

Slična pogreška se događa kada učenici zaborave da nazivnici (# a ^ 2, b ^ 2 #) su kvadrati radijusa, a ne sami radijusi. Nije neuobičajeno vidjeti studenta s problemom kao što je # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # nacrtajte elipsu #x#-radius 9 i # Y #-radius 4. Nadalje, to se može dogoditi zajedno s gore navedenom pogreškom (zbunjujući radijus za promjer), što dovodi do ishoda kao što je učenik s gornjom jednadžbom koja crta elipsu s velikim promjerom 9 (a time i većim radijusom 4.5), umjesto ispravnog glavnog promjera 6 (i glavnog radijusa 3).

(Zbrka hiperbola i elipse) UPOZORENJE: Odgovor je prilično dugačak

Još jedna relativno uobičajena pogreška događa se ako se pogrešno zapamti formula za elipsu. Konkretno, čini se da se najčešći od tih pogrešaka događa kada se zbunjuje formula za elipse s onom za hiperbole (koje, podsjetimo, # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # ili # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # za one koji su centrirani u podrijetlu, opet podložni gore navedenim konvencijama označavanja osi). Za to je dobro zapamtiti definiciju elipse i hiperbole kao konike.

Naime, prisjetite se da je elipsa mjesto točaka povezanih s dva žarišta # f_1 & f_2 # koji se nalaze duž glavne osi tako da za proizvoljnu točku # P # na mjestu, udaljenost od # P # do # F_1 # (označen # D_1 #) plus udaljenost od # P # do # F_2 # (označen # D_2 #) jednak dvaput većem radijusu (tj., ako # S # je najveći radijus, # d_1 + d_2 = 2a #). Nadalje, udaljenost od centra do bilo kojeg od tih žarišta (ponekad se naziva polu-fokalno razdvajanje ili linearna ekscentričnost), pod pretpostavkom # S # je najveći radijus, jednak je #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) *.

Suprotno tome, hiperbola je mjesto točaka koje se odnose na dva žarišta na takav način da za točku # P # na mjestu, apsolutnu vrijednost razlika između udaljenosti točke od prvog fokusa i udaljenosti točke do drugog fokusa jednaka je dvostrukom većem radijusu (tj. # S # veliki radijus, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Nadalje, udaljenost od središta hiperbole do bilo kojeg od tih žarišta (opet, ponekad se naziva linearna ekscentričnost, i još uvijek pretpostavljajući # S # veliki radijus) jednak je #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Što se tiče definicije konika, ukupni nastranost # E # odjeljka određuje je li to krug (# E = 0 #), elipsa (# 0 <e <1 #), parabola (# E = 1 #), ili hiperbola (#E> 1 #). Za elipse i hiperbole, ekscentričnost se može izračunati kao omjer linearne ekscentričnosti i duljine glavnog radijusa; dakle, za elipsu će biti #e = sqrt (^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (a time i nužno manje od 1), a za hiperbolu će biti #e = sqrt (^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (i stoga nužno veći od 1).