Voda koja curi na pod čini kružni bazen. Polumjer bazena se povećava brzinom od 4 cm / min. Koliko brzo se područje bazena povećava kada je radijus 5 cm?

Odgovor:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ min" #

Obrazloženje:

Prvo, trebamo početi s jednadžbom koju znamo koja se odnosi na područje kruga, bazen i njegov radijus:

# A = pir ^ 2 #

Međutim, želimo vidjeti koliko brzo područje bazena raste, što zvuči kao stopa … što zvuči kao derivat.

Ako uzmemo derivat od # A = pir ^ 2 # u odnosu na vrijeme, # T #, vidimo da:

# (DA) / dt = pi * 2R * (DR) / dt #

(Ne zaboravite da se pravilo lanca primjenjuje na desnoj strani, s # R ^ 2 #- ovo je slično implicitnoj diferencijaciji.)

Dakle, želimo odrediti # (DA) / dt #, Pitanje nam je to govorilo # (DR) / dt = 4 # kada je rečeno "radijus bazena se povećava brzinom od." #4# cm / min, "a mi također znamo da želimo pronaći # (DA) / dt # kada # R = 5 #, Uključivanjem tih vrijednosti u, vidimo da:

# (DA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Da to izrazimo riječima, kažemo:

Površina bazena raste po stopi od # Bb40pi # cm# "" ^ BB2 #/ min kada je radijus kruga # BB5 # cm.

Voda istječe iz obrnutog koničnog spremnika brzinom od 10.000 cm3 / min u isto vrijeme kada se voda pumpa u spremnik konstantnom brzinom Ako je spremnik visine 6m, a promjer na vrhu 4 m i ako se razina vode povećava brzinom od 20 cm / min kada je visina vode 2 m, kako ćete naći brzinu kojom se voda pumpa u spremnik?

Neka je V volumen vode u spremniku, u cm ^ 3; neka je h dubina / visina vode, u cm; i neka je r polumjer površine vode (na vrhu), u cm. Budući da je spremnik obrnuti konus, tako je i masa vode. Budući da je spremnik visine 6 m i radijusa na vrhu 2 m, slični trokuti impliciraju da frak {h} {r} = frak {6} {2} = 3 tako da je h = 3r. Volumen obrnutog konusa vode je tada V = frak {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Sada razlikujte obje strane s obzirom na vrijeme t (u minutama) da biste dobili frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (pravilo lanca se koristi u ovom korak). Ako je V_ {i} volumen vode koja je upumpana, t

Izlijevanje nafte iz puknutog tankera širi se u krug na površini oceana. Površina izljeva se povećava brzinom od 9π m² / min. Koliko se polumjer prosipa povećava kada je polumjer 10 m?

Dr | _ (r = 10) = 0.45 mol // min. Budući da je površina kruga A = pi r ^ 2, možemo uzeti diferencijale na svakoj strani da dobijemo: dA = 2pirdr Stoga se radijus mijenja s brzinom dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) Dakle, dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0.45m / min.

Kada je Janenov bazen bio nov, mogao se napuniti za 6 minuta, s vodom iz crijeva. Sada kada bazen ima nekoliko curenja, potrebno je samo 8 minuta da sva voda iscuri iz punog bazena. Koliko je vremena potrebno za popunjavanje leaky bazena?

24 minute Ako je ukupni volumen bazena x jedinica, svaka minuta x / 6 jedinica vode se stavlja u bazen. Isto tako, x / 8 jedinica curenja vode iz bazena svake minute. Dakle, (+) x / 6 - x / 8 = x / 24 jedinica vode ispunjene u minuti. Zbog toga bazen treba popuniti 24 minute.