Što je najmanji cijeli broj n takav da n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Odgovor:

# N = 8075 #

Obrazloženje:

pustiti #v_p (k) # biti mnogostrukost # P # kao faktor # K #, To je, #v_p (k) # je najveći cijeli broj takav da # P ^ (v_p (k)) | K #.

zapažanja:

Za bilo koji #k u ZZ ^ + # i # P # premijera, imamo #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

(To se može lako dokazati indukcijom)
Za bilo koji cijeli broj #k> 1 #, imamo # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

(Ovo je intuitivno, kao višestruke moći #2# pojavljuju se češće od višestrukih ekvivalentnih snaga #5#, i može se dokazati strogo koristeći sličan argument)
Za #j, k u ZZ ^ + #, imamo #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # za svaki prosti djelitelj # P # od # J #.

Nastavljajući, naš cilj je pronaći najmanje cijeli broj # # N tako da # 10 ^ 2016 |! N #, Kao # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, onda trećom opservacijom to moramo samo potvrditi # 2016 <= v_2 (n!) # i # 2016 <= v_5 (n!) #, Drugo opažanje znači da ovo drugo podrazumijeva prvo. Stoga je dovoljno pronaći najmanje cijeli broj # # N tako da # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Pronaći # # N napravit ćemo zapažanje koje će nam omogućiti da izračunamo # V_5 (5 ^ k!) #.

Između #1# i # 5 ^ k #, tamo su # 5 ^ k / 5 # višekratnika #5#, od kojih svaka pridonosi barem #1# do iznosa #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #, Postoje također # 5 ^ k / 25 # višekratnika #25#, od kojih svaki pridonosi dodatnom #1# na sumu nakon početnog brojanja. Možemo nastaviti na ovaj način sve dok ne postignemo jedan višestruki # 5 ^ k # (koji je # 5 ^ k # sama), koja je doprinijela # K # puta do iznosa. Izračunavajući zbroj na ovaj način, imamo

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ ^ K5 (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) = 5 ^ i (5 ^ k-1), / (5-1) #

Tako to pronalazimo # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Konačno, naći ćemo # # N tako da # v_5 (n!) = 2016 #, Ako izračunamo # V_5 (5 ^ k!) # za nekoliko vrijednosti # K #, pronašli smo

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Kao #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # # N treba dva "bloka" od #5^5#, dva od #5^4#, četiri od #5^3#, i tri od #5^2#, Tako dobivamo

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Računalo to može brzo provjeriti #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #, Tako #10^2016 | 8075!#, i kao #5|8075!# s mnoštvom #2016# i #5|8075#, jasno je da nije dovoljna niža vrijednost.

Kendra misli na cijeli broj veći od -3 i manji od -2.7. Što je cijeli broj?

Ne postoji cijeli broj koji se nalazi strogo između te dvije vrijednosti. Ciljevi su jedinični koraci duž brojčane linije, npr. {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Dakle, -3 je cijeli broj. Budući da -2,7 ima decimalni dio, nije cijeli broj. Sljedeći cijeli broj veći od -3 je -2. Sljedeći cijeli broj manji od -2,7 je -3. Rečeno nam je da damo cijeli broj koji je najmanje -2, ali u isto vrijeme, najviše -3 ... što se ne može učiniti. Ako slučajno pitanje postavi "... veće ili jednako -3 ..." (ili možda "... veće od -3 .2 ..."), onda je rješenje -3. Međutim, u smislu dane formulacije, nema odgovora.

Što je stvarni broj, cijeli broj, cijeli broj, racionalni broj i iracionalan broj?

Objašnjenje Niže Racionalni brojevi dolaze u 3 različita oblika; cijeli brojevi, frakcije i završavaju ili ponavljaju decimale kao što je 1/3. Iracionalni brojevi su prilično 'neuredni'. Ne mogu se pisati kao razlomci, oni su beskrajni, neponovljivi decimali. Primjer toga je vrijednost π. Cijeli se broj može nazvati cijeli broj i to je pozitivan ili negativan broj ili nula. Primjer toga je 0, 1 i -365.

Je li sqrt21 pravi broj, racionalni broj, cijeli broj, cijeli broj, iracionalan broj?

To je iracionalan broj i stoga stvaran. Prvo ćemo dokazati da je sqrt (21) stvarni broj, zapravo, kvadratni korijen svih pozitivnih realnih brojeva je stvaran. Ako je x pravi broj, tada definiramo za pozitivne brojeve sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x}. To znači da promatramo sve realne brojeve y tako da y ^ 2 <= x i uzmemo najmanji stvarni broj koji je veći od svih ovih y, tzv. Supremum. Za negativne brojeve, ova y ne postoje, jer za sve realne brojeve zauzimanje kvadrata ovog broja rezultira pozitivnim brojem, a svi pozitivni brojevi su veći od negativnih brojeva. Za sve pozitivne brojeve uvijek postoji