Kakvo je značenje djelomičnog derivata? Dajte primjer i pomozite mi da ukratko shvatim.

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

Nadam se da pomaže.

Parcijalni derivat je suštinski povezan s ukupnom varijacijom.

Pretpostavimo da imamo funkciju #F (x, y) # i želimo znati koliko se ona mijenja kada uvedemo prirast za svaku varijablu.

Učvršćivanje ideja, stvaranje #f (x, y) = k x y # želimo znati koliko je to

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

U našem primjeru funkcija imamo

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

i onda

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k xy = k x dx + k y dy + k dx dy #

Odabir #dx, dy # tada proizvoljno mala #dx dy otprilike 0 # i onda

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

ali općenito

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx), y)) / dy dy #

sada stvaram #dx, dy # proizvoljno mali

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

tako da možemo izračunati ukupnu varijaciju za danu funkciju, izračunavanjem djelomičnih derivata #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # i smjesa

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Ovdje, količine #f_ (x_i) # nazivaju se djelomičnim derivatima i mogu se također predstaviti kao

# (djelomično f) / (djelomično x_i) #

U našem primjeru

#f_x = (djelomični f) / (djelomični x) = k x # i

#f_y = (djelomično f) / (djelomično y) = k y #

BILJEŠKA

#f_x (x, y) = lim_ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

Da bih nadopunio Cesareoov odgovor iznad, pružit ću manje matematički rigoroznu uvodnu definiciju.

Parcijalni derivat, labavo govoreći, govori nam koliko će se promijeniti funkcija s više varijabli kada držite ostale varijable konstantne, Na primjer, pretpostavimo da smo dani

#U (A, t) = A ^ 2t #

Gdje # U # je funkcija korisnosti (sreće) određenog proizvoda, # S # je količina proizvoda i # T # vrijeme je za koje se proizvod koristi.

Pretpostavimo da bi tvrtka koja proizvodi proizvod željela znati koliko više koristi može iz toga izvući ako poveća životni vijek proizvoda za 1 jedinicu. Djelomični derivat će tvrtki reći tu vrijednost.

Djelomični derivat obično je označen malim slovom delta grčkog slova (# # Djelomični), ali postoje i druge oznake. Mi ćemo koristiti # # Djelomični zasad.

Ako pokušavamo otkriti koliko se korisnost proizvoda mijenja s povećanjem 1 jedinice u vremenu, izračunavamo djelomični derivat korisnosti s obzirom na vrijeme:

# (PartialU) / (partialt) #

Za izračun PD-a, držimo ostale konstantne varijable, U ovom slučaju, liječimo Broj u katalogu A ^ 2 #, druga varijabla, kao da je broj. Podsjetimo iz uvodnog računa da je derivat konstantnog vremena varijabla samo konstanta. Ista je ideja ovdje: (djelomična) izvedenica Broj u katalogu A ^ 2 #, konstantna vremena # T #, varijabla je samo konstanta:

# (PartialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Tako se povećava 1 jedinica u vremenu kada se proizvod koristi Broj u katalogu A ^ 2 # više korisnosti. Drugim riječima, proizvod postaje zadovoljavajući ako se može češće koristiti.

Mnogo, mnogo više se može reći o djelomičnim derivatima - zapravo, cijeli preddiplomski i diplomski tečajevi mogu biti posvećeni rješavanju samo nekoliko vrsta jednadžbi koje uključuju djelomične derivate - ali osnovna ideja je da nam djelomični derivat govori koliko je jedan dio izveden. varijable se mijenjaju kada ostale ostaju iste.