Što je int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Odgovor:

#= 1/4#

Obrazloženje:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ d / dx (1/4 ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Odgovor:

#1/4#

Obrazloženje:

To mogu učiniti na više načina, ovdje su dva od njih. Prvi je korištenje zamjene:

#color (crvena) ("metoda 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

pustiti #u = ln (x) podrazumijeva du = (dx) / x #

Preoblikovanje ograničenja:

#u = ln (x) podrazumijeva u: 0 rarr 1 #

Integral postaje:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

To je jednostavniji način, ali možda nećete uvijek moći izvršiti zamjenu. Alternativa je integracija po dijelovima.

#color (crveno) ("Metoda 2") #

Koristite integraciju po dijelovima:

Za funkcije #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) podrazumijeva u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) podrazumijeva v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Pojmovi poput grupiranja:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#tako je int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Mi radimo s određenim integralom, dakle primjenom granica i uklanjanjem konstante:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #