Kako možete dokazati Poissonovu distribuciju?

Odgovor:

# "Pogledajte objašnjenje" #

Obrazloženje:

# "Uzmemo vremensko razdoblje s duljinom" t ", koje se sastoji od n komada" # #

#Delta t = t / n ". Pretpostavimo da je prilika za uspješan događaj" # #

# "u jednom komadu je" p ", zatim ukupan broj događaja u n" #

# "vremenski dijelovi se distribuiraju binomno prema" # #

#p_x (x) = C (n, x) p ^ x (1-p) ^ (n-x), x = 0,1, …, n #

# "s" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!)) "(kombinacije)" #

# "Sada dopuštamo" #

# n-> oo ", tako da" p-> 0, "ali" n * p = lambda #

# "Stoga zamjenjujemo" p = lambda / n "u" p_x ":" #

#p_x (x) = (n!) / ((x!) (n-x)!) (lambda / n) ^ x (1-lambda / n) ^ (n-x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n!) / ((n-x)!) * 1 / (n ^ x (1-lambda / n) ^ x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n (n-1) (n-2) … (n-x + 1)) / (n (l-lambda) / n)) ^ x #

# "for" n -> oo "što je između …" -> 1 "i" #

# (1 - lambda / n) ^ n -> e ^ -lambda "(Eulerova granica)," #

# "tako dobivamo" #

#p_x (x) = (lambda ^ x ^ - lambda) / (x!), x = 0,1,2, …, oo #