Kako integrirati e ^ x * cos (x)?

Odgovor:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Obrazloženje:

Trebat će dvaput koristiti integraciju po dijelovima.

Za #u (x) i v (x) #, IBP daje se pomoću

#int uv 'dx = uv - int u'vdx #

pustiti #u (x) = cos (x) podrazumijeva u '(x) = -sin (x) #

#v '(x) = e ^ x podrazumijeva v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + boja (crvena) (inte ^ xsin (x) dx) #

Sada koristite IBP na crvenom terminu.

#u (x) = sin (x) podrazumijeva u '(x) = cos (x) #

#v '(x) = e ^ x podrazumijeva v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + e ^ xsin (x) - inte ^ xcos (x) dx #

Grupirajte integrale zajedno:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ x (cos (x) + sin (x)) + C #

Stoga

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

pustiti # I = inte ^ xcosxdx #

Koristimo, Pravilo o integraciji dijelova #: intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #.

Uzimamo, # u = cosx, i, v = e ^ x #.

Stoga, # (du) / dx = -sinx, i, intvdx = e ^ x #, Stoga, # I = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx = e ^ xcosx + J, J = inte ^ xsinxdx #.

Pronaći # J #, primjenjujemo isto pravilo, ali sada, s # U = sinx #, &, # V = e x ^ #, dobivamo,

# J = e ^ xsinx-inte ^ xcosxdx-e ^ xsinx-l #.

Podvrgnite ovo u # I #, imamo, # I-e ^ xcosx + e ^ xsinx-l #, tj.

# 2I = e x ^ (+ cosx sinx) #, ili, # I-e ^ x / 2, (cosx + sinx) #.

Uživajte u matematici.!

Odgovor:

# E ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #.

Obrazloženje:

pustiti # I = e ^ xcosxdx, i J = inte ^ xsinxdx #

Korištenje IBP-a #; intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #, s,

# u = cosx i, v = e ^ x #, dobivamo, # I-e ^ xcosx-int (-sinx) e ^ xdx-e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx #, tj.

# I = e ^ xcosx + J rArr I-J = e ^ xcosx …. …………….. (1) #

Ponovno IBP, u # J # dobivamo, # J = e ^ xsinx-inte ^ xcosx #, Tako, # J = e ^ xsinx-I rArr J + I = e ^ xsinx …………….. (2) #

Rješavanje #(1) & (2)# za #I i J #, imamo, # I = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C, i, J = e ^ x / 2 (sinx-cosx) + K #

Uživajte u matematici.!