Koja su rješenja za (z-1) ^ 3 = 8i?

Odgovor:

#z u {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Obrazloženje:

Za ovaj problem morat ćemo znati kako pronaći # N ^ "th" # korijeni složenog broja. Da bismo to učinili, koristit ćemo identitet

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Zbog tog identiteta možemo predstavljati bilo koji kompleksni broj kao

# a + bi = Re ^ (itheta) # gdje #R = sqrt (^ 2 + b ^ 2) # i #theta = arctan (b / a) #

Sada ćemo prijeći preko koraka kako bismo pronašli # 3 ^ "rd" # korijeni složenog broja # A + bi #, Koraci za pronalaženje # N ^ "th" # korijeni su slični.

dan # a + bi = Re ^ (itheta) # tražimo sve složene brojeve # Z # tako da

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Kao # Z # je kompleksan broj, postoji # R_0 # i # Theta_0 # tako da

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Zatim

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Iz ovoga odmah imamo # R_0 = R ^ (1/3) #, Također možemo izjednačiti eksponente # E #ali uz napomenu da su kao sinus i kosinus periodični s razdobljem # 2pi #, zatim iz izvornog identiteta, # E ^ (itheta) # će također biti. Onda imamo

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # gdje #k u ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # gdje #k u ZZ #

Međutim, kao da nastavljamo s dodavanjem # 2pi # iznova i iznova, mi ćemo završiti s istim vrijednostima, možemo zanemariti suvišne vrijednosti dodavanjem ograničenja # theta_0 u 0, 2pi) #, to je, #k u {0, 1, 2} #

Stavljajući sve to zajedno, dobivamo skup rješenja

#z u {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (+ theta 4pi) / 3)} #

Možemo ovo pretvoriti u # A + bi # po želji pomoću identiteta

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Primjena gore navedenog na trenutni problem:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Pomoću gore navedenog procesa možemo pronaći # 3 ^ "rd" # korijeni # I #:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) u {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Primjena # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # imamo

# i ^ (1/3) u {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Konačno, u tim vrijednostima zamjenjujemo #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z u {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #