Koja je domena i raspon f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Odgovor:

Domena: cijela stvarna linija

raspon: #-0.0757,0.826#

Obrazloženje:

Ovo se pitanje može tumačiti na jedan od dva načina. Ili očekujemo da ćemo se baviti samo pravom linijom # RR #, ili također s ostatkom složene ravnine # CC #, Korištenje #x# kao varijabla podrazumijeva da se radi samo o stvarnoj liniji, ali postoji zanimljiva razlika između dva slučaja koje ću napomenuti.

Područje # F # Cjelokupni brojčani skup je umanjen za sve točke koje uzrokuju da funkcija eksplodira do beskonačnosti. To se događa kada nazivnik # X ^ 2 + 4 = 0 #kada # X ^ 2--4 #, Ova jednadžba nema stvarnih rješenja, pa ako radimo na pravoj liniji, domena je cijeli interval # (- oo, + oo) #, Ako uzmemo u obzir beskonačne granice funkcije uspoređujući vodeće pojmove u brojniku i nazivniku, vidimo da na obje beskonačnosti teži nuli, pa tako možemo, ako ih želimo, dodati u taj interval da bismo ga zatvorili: # - oo, + oo #.

Jednadžba # X ^ 2--4 # međutim, ima dva složena rješenja, #x = + - 2i #, Ako uzmemo u obzir cijelu kompleksnu ravninu, tada je domena cijela ravnina minus ove dvije točke: # CC # # {+ - 2i} #, Kao i kod reala, možemo dodati u beskonačnost slično ako želimo.

Za određivanje raspona # F # trebamo otkriti njegove maksimalne i minimalne vrijednosti na svojoj domeni. Sada ćemo govoriti samo o realima, budući da je određivanje tog analognog u kompleksnoj ravnini općenito različita vrsta problema koji zahtijeva različite matematičke alate.

Uzmi prvi derivat pomoću pravila kvocijenta:

#F "(x) = ((x ^ 2 + 4) -2 x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Funkcija # F # doseže ili ekstrem ili točku infleksije kada #F "(x) = 0 #kada # -X ^ 2-6x + 4 = 0 #.

To rješavamo kvadratnom formulom:

# X = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #, Dakle, funkcija ima dvije takve točke.

Te točke karakteriziramo ispitivanjem njihovih vrijednosti na drugom derivatu od # F #, što uzmemo, opet putem pravila kvocijenta:

#F '(x) = ((- 2 x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) + 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Iz prvog izračuna izvedenoga korijena znamo da je drugi pojam u brojniku nula za te dvije točke, budući da je postavljanje na nulu jednadžba koju smo upravo riješili kako bismo pronašli ulazne brojeve.

Dakle, primjećujući to # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2-22bar (+) 6sqrt (13) #:

#F '(- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) + 3) (22bar (+) 6sqrt (13) + 4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) + 4) ^ 3 #

# = (Bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

U određivanju znaka ovog izraza pitamo se je li # 26> 6sqrt (13) #, Kvadrat obje strane za usporedbu: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #, Tako # 26-6sqrt (13) # je pozitivan (i # 26 + 6sqrt (13) # čak i više).

Znak cijelog izraza se svodi na #bar (+) # ispred njega, što znači da # X = 3-sqrt (13) # ima #F '' (x)> 0 # (i stoga je funkcija minimum) i # X = -3 + sqrt (13) # ima #F '(x) <0 # (i stoga je maksimum funkcije). Nakon što smo primijetili da funkcija na beskonačnostima teži nuli, sada u potpunosti razumijemo oblik funkcije.

Da bismo sada dobili raspon, moramo izračunati vrijednosti funkcije na minimalnoj i maksimalnoj točki # X = -3 + -sqrt (13) #

Sjetite se toga #F (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) *, i tako

#F (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) + 3) / (22bar (+) 6sqrt (13) + 4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) *.

Dakle, preko stvarne linije # RR # funkcija #F (x) * uzima vrijednosti u rasponu # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #koji, ako procjenjujemo numerički, dolazi do #-0.0757,0.826#, na tri značajne brojke, dobivene na #x# vrijednosti #-6.61# i #0.606# (3 s.f.)

Iscrtajte grafiku funkcije kao provjeru ispravnosti:

graf {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

Odgovor:

Domena: #x u RR #

raspon: #f (x) u -0.075693909, + 0.825693909 boji (bijelo) ("xxx") # (približno)

Obrazloženje:

dan

#COLOR (bijeli) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) *

Domena

domena su sve vrijednosti od #x# za koji #F (x) * je definirano.

Za svaku funkciju izraženu kao polinom podijeljenu s polinomom, funkcija je definirana za sve vrijednosti od #x# gdje polinom djelitelja nije jednak nuli. Od # X ^ 2> = 0 # za sve vrijednosti #x#, # X ^ 2 + 4> 0 # za sve vrijednosti #x#; to je #x! = 0 # za sve vrijednosti #x#; funkcija je definirana za sve Real (# RR #) vrijednosti od #x#.

opseg

opseg je malo zanimljivije za razvoj.

Napominjemo da ako kontinuirana funkcija ima granice, derivat funkcije u točkama koje rezultiraju tim granicama jednak je nuli.

Iako neki od ovih koraka mogu biti trivijalni, kroz ovaj proces ćemo raditi kroz prilično temeljna načela za derivate.

1 Pravilo eksponenta za derivate

Ako #F (x) = x ^ n # zatim # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Pravilo zbroja za derivate

Ako #F (x) = f (x) + e (x) * zatim # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 Pravilo proizvoda za derivate

Ako #f (x) = g (x) * h (x) # zatim # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 Pravilo lanca za derivate

Ako #F (x) = p (q (x)) # zatim # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Za zadanu funkciju #F (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) *

napominjemo da se to može napisati kao #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Po 3 znamo

# boja (bijela) ("XXX") boja (crvena) ((df (x)) / (dx)) = boja (limeta) ((d (x + 3)) / (dx)) * boja (plava) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + boja (plava) ((x + 3)) * boja (magenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) *

Po 1 imamo

# boja (bijela) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

i do 2

#COLOR (bijeli) ("XXX") u boji (vapno) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = boje (vapno) (1) #

Prema 4 imamo

# boja (bijela) ("XXX") boja (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d) (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

i prema 1 i 2

#color (bijelo) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

ili, pojednostavljeno:

#COLOR (bijeli) ("XXXXXXXX") = boja (grimizna) (- (2 x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2),) *

daje nam

# boja (bijela) ("XXX") boja (crvena) ((df (x)) / (dx)) = boja (zelena) 1 * boja (plava) ((x + 4) ^ (- 1)) + boja (plava) ((x + 3)) * boja (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

što se može pojednostaviti kao

# boja (bijela) ("XXX") boja (crvena) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Kao što je navedeno (povratak) to znači da će se granične vrijednosti pojaviti kada

#COLOR (bijeli) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (bijelo) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

zatim koristeći kvadratnu formulu (pogledajte ovo, Sokrat se već žali na dužinu ovog odgovora)

kada

#COLOR (bijeli) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

Umjesto da produžujemo agoniju, jednostavno ćemo uključiti te vrijednosti u naš kalkulator (ili proračunsku tablicu, kako to radim) kako bih dobio ograničenja:

#COLOR (bijeli) ("XXX") r (3-sqrt (13)) ~~ -,075693909 #

i

#COLOR (bijeli) ("XXX") r (-3 + sqrt (13)) ~~ 0,825693909 #

Odgovor:

Jednostavniji način pronalaženja raspona. Domena je #x u RR #, Raspon je #y u -0.076, 0.826 #

Obrazloženje:

Domena je #x u RR # kao

#AA x u RR #nazivnik # X ^ 2 + 4> 0 #

pustiti # Y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) *

Križ se množi

#=>#, #Y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# YX ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Ovo je kvadratna jednadžba u #x#

Postoje rješenja ako je diskriminantan #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (R4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Stoga, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Rješenja ove nejednakosti su

# y u (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) + 16)) / (32) #

#y in (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y u -0.076, 0.826 #

graf {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}