Koji je kvadratni korijen od 82?

Odgovor:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Obrazloženje:

#x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrtS # za #n -> oo #

S je broj koji aproksimira njegov sqaure root. U ovom slučaju # S = 82 #

Evo što to znači i kako se koristi:

Prvo, pogodite, kakav bi mogao biti kvadratni korijen od 82?

kvadratni korijen od 81 je 9, tako da mora biti lagano veći od 9, zar ne?

Naša pretpostavka će biti #x_ "0" #, recimo 9.2, #x_ "0" = 9,2 #

Umetanje 9.2 kao "x" u formuli će nam dati #x_ "0 + 1" = x_ "1" #

Ovo će biti sljedeći broj koji stavimo u jednadžbu. To je zato što smo počeli s pretpostavkom 9.2 #x_ "0" #, ovo nam je dalo broj #x_ "1" #, unos ovog broja će nam dati #x_ "2" #, što će nam dati #x_ "3" # i tako dalje, uvijek nam daje sljedeći broj kada ubacimo prethodni. Desna strana jednadžbe označene s "#->#"znači da kada" n "postane veći i veći, broj se sve više približava kvadratnom korijenu S, u ovom slučaju 82.

Recimo da smo napravili isti izračun 100 puta! Onda bismo imali #x_ "100" #, Taj bi broj bio vrlo blizu kvadratnom korijenu S.

Dosta razgovora, napravimo neke stvarne izračune!

Počinjemo s našim pretpostavkama #x_ "0" = 9.2 #

#x_ "1" = 1/2 (9.2 + 82 / 9.2) ~~ 9.05652 #

Sada učinite isto s novim brojem: #x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~~ 9.05549 #

Učinimo to posljednji put: #x_ "3" = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~~ 9.0554 #

To znaci # Sqrt82 ~~ 9,0554 #

I tu imate!

Žao mi je ako je sve moje priče bilo dosadno. Pokušao sam to detaljno objasniti i na jednostavan način, što je uvijek lijepo ako ne poznajete određeno polje iz matematike. Ne vidim zašto neki ljudi moraju biti toliko otmjeni kada objašnjavaju matematiku:)

Odgovor:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …))) ~~ 9.0553851381374 #

Obrazloženje:

Prime faktorizacija od #82# je:

#82 = 2*41#

Budući da nema kvadratnih faktora, #sqrt (82) # ne može se pojednostavniti. To je iracionalan broj malo veći od #9#.

Međutim, imajte na umu to #82=81+1 = 9^2+1#.

Budući da je ovo forma # N ^ 2 + 1 #, kvadratni korijen ima vrlo pravilan oblik kao kontinuirana frakcija:

#sqrt (82) = 9; bar (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …))))

Općenitije:

#sqrt (n ^ 2 + 1) = n; bar (2n) = n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …)))) #

Općenitije:

#sqrt (n ^ 2 + m) = n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …)))) #

U svakom slučaju, možemo upotrijebiti nastavak frakcije da bismo dobili racionalne aproksimacije #sqrt (82) # skraćivanjem.

Na primjer:

#sqrt (82) ~~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9,0 bara (5) #

#sqrt (82) ~ ~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9,05bar (538461) #

#sqrt (82) ~ ~ 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~~ 9.05538513974 #

Kalkulator mi govori da:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

Tako možete vidjeti da su naše aproksimacije točne samo za toliko značajnih znamenki kao i ukupan broj znamenki u kvocijentu.