Što je integral od (ln (xe ^ x)) / x?

Odgovor:

# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Obrazloženje:

Dobili smo:

# Int # #ln (Xe ^ x) / (x) dx #

koristeći #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = Int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

koristeći #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = Int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

koristeći #ln (e) = 1 #:

# = Int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Podjela frakcije (# x / x = 1 #):

# = Int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Odvajanje zbrojenih integrala:

# = Int # #ln (x) / xdx + dx #

Drugi integral je jednostavno #x + C #, gdje # C # je proizvoljna konstanta. Prvi integral koji koristimo # U #-substitution:

pustiti #u equiv ln (x) #, stoga #du = 1 / x dx #

koristeći # U #-substitution:

# = u udu + x + C #

Integracija (proizvoljna konstanta # C # može apsorbirati proizvoljnu konstantu prvog neodređenog integrala:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Zamjena natrag u smislu #x#:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Odgovor:

#int (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Obrazloženje:

Počinjemo pomoću sljedećeg identiteta logaritma:

#ln (ab) = u (a) + ln (b) #

Primjenjujući to na integral, dobivamo:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int l (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int l (x) / x + x / x dx = int l (x) / x + 1 dx = int l (x) / x dx + x #

Da bismo procijenili preostali integral, koristimo integraciju po dijelovima:

# f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Pustit ću #F (x) = u (x) * i #G "(x) = 1 / x #, Tada možemo izračunati da:

#F "(x) = 1 / x # i #G (x) = u (x) *

Zatim možemo primijeniti formulu integracije po dijelovima kako bismo dobili:

#int (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int l (x) / x dx #

Budući da imamo integral na obje strane znaka jednakosti, možemo ga riješiti kao jednadžbu:

Ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Vraćajući se natrag u izvorni izraz, dobivamo naš konačni odgovor:

#int (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #