Nađi f i 'izračunaj' integralni?

Odgovor:

Pogledaj ispod

Obrazloženje:

# E ^ f (x) + f '(x) = 0 + 1 #

# e ^ y + y '+ 1 = 0, qquad y = f (x) #

# y '= - 1 - e ^ y #

# (dy) / (1 + e ^ y) = - dx #

#z = e ^ y, qquad dz = e ^ y dy = z d

#int (dz) / (z (1 + z)) = - int dx #

#int dz 1 / z - 1 / (1 + z) = - int dx #

#ln (z / (1 + z)) = C - x #

# e ^ y / (1 + e ^ y) = e ^ (C - x) #

Korištenje IV:

• # e ^ (C - x) = 1 / (e ^ (- y) + 1) #

• #lim_ (x do 0) y = + oo podrazumijeva C = 0 #

# e ^ y (1 - e ^ (- x)) = e ^ (- x) #

# e ^ y = e ^ (- x) / (1 - e ^ (- x)) = 1 / (e ^ x - 1) #

#y = ln (1 / (e ^ (x) -1)) #

POKAZATI bit

#I = int_ (ln2) ^ 1 e ^ y (x + 1) t

# = - int_ (ln2) ^ 1 (1+ x) (1 + y ')

# = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx-boja (crvena) (int_ (ln2) ^ 1 y 'dx) - int_ (ln2) ^ 1 xy' t

# boja (crvena) (int_ (ln2) ^ 1 y 'dx) = ln (1 / (e ^ (x) -1)) _ (ln2) ^ 1 = - ln (e-1) #

#implies I - ln (e-1) = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx - int_ (ln2) ^ 1 xy ' t

• # int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx gt 0 #

• # int_ (ln2) ^ 1 xy 'dx gt 0 #

#implies I lt ln (e-1) #

Odgovor:

#f (x) = c -x-ln (1-e ^ (c-x)) #

Nisam još mogao pokazati nejednakost, ali sam našao jaču nejednakost.

Obrazloženje:

pustiti #g (x) = e ^ (f (x)) # tako da, koristeći pravilo lanca:

#g '(x) = f' (x) e ^ (f (x)) #

Imajte na umu da:

#f (x) = ln (g (x)) #, tako:

#f '(x) = (g' (x)) / (g (x)) #

Zamjenjujući u izvornu jednadžbu imamo:

#g (x) + (g '(x)) / (g (x)) +1 = 0 #

i kao po definiciji #g (x)> 0 #:

# (dg) / dx + g ^ 2 (x) + g (x) = 0 #

koji se može odvojiti:

# (dg) / dx = -g ^ 2-g #

# (dg) / (g (g + 1)) = -dx #

#int (dg) / (g (g + 1)) = -int dx #

Rastavljanje prvog člana pomoću djelomičnih frakcija:

# 1 / (g (g + 1)) = 1 / g -1 / (g + 1) #

tako:

#int (dg) / g- int (dg) / (g + 1) = -int dx #

#ln g - ln (g + 1) = -x + c #

Korištenje svojstava logaritama:

#ln (g / (g + 1)) = - x + c #

# g / (g + 1) = e ^ (c-x) #

Sada se rješava # G #:

#g = e ^ (c-x) (g + 1) #

#g (1-e ^ (c-x)) = e ^ (c-x) #

i konačno:

#g (x) = e ^ (c-x) / (1-e ^ (c-x)) #

Sada:

#f (x) = ln (g (x)) = ln (e ^ (cx) / (1-e ^ (cx))) = ln (e ^ (cx)) -ln (1-ce ^ -x)) #

#f (x) = c -x-ln (1-e ^ (c-x)) #

Možemo odrediti # C # od uvjeta:

#lim_ (x-> 0) f (x) = + oo #

Kao:

#lim_ (x-> 0) c -x-ln (1-e ^ (c-x)) = c-ln (1-e ^ c) #

koji je konačan osim ako # c = 0 #.

Zatim:

#f (x) = -x-ln (1-e ^ -x) #

Razmotrite sada integralni:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx = int_ (ln2) ^ 1 e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1) dx #

Kao:

# d / dx (e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1)) = - (x * e ^ x + 1) / (e ^ x-1) ^ 2 #

vidimo da se u intervalu integracije funkcija strogo smanjuje, pa je njezina maksimalna vrijednost # M # pojavljuje se za # x = ln2 #:

#M = (e ^ -ln2 / (1-e ^ -ln2)) (ln2 + 1) = (1/2) / (1-1 / 2) (ln2 + 1) = (ln2 + 1) #

Zatim:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= M (1-ln2) #

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= 1-ln ^ 2 2 #

Odgovor:

Evo još jednog

Obrazloženje:

#A) #

# E ^ f (x) + f '(x) = 0 + 1 # # <=> ^ (* E ^ (- f (x)) *

# 1 + f '(x) e ^ (- f (x)) + e ^ (- f (x)) = 0 # #<=>#

# F "(x) e ^ (- f (x)) = 1 + e ^ (- f (x)) * #<=>#

# (E ^ (- f (x))) = 1 + e ^ (- f (x)) * #<=>#

# (1 + e ^ (- f (x))) = 1 + e ^ (- f (x)) *# <=> ^ (X> 0) #

pa tamo # C ##u## RR #, # 1 + e ^ (- f (x)) = CE ^ x #

• #lim_ (xto0) e ^ (- f (x)) = _ (xto0, y -> - oo) ^ (- f (x) = u) lim_ (uto-oo) e ^ u = 0 #

i #lim_ (xto0) (- e ^ (- f (x)) + 1) = lim_ (xto0) CE ^ x # #<=>#

# c = 1 #

Stoga, # 1 + e ^ (- f (x)) = e x ^ # #<=>#

#E ^ (- f (x)) = e ^ x-1 # #<=>#

# F (x) = u (e ^ x-1) # #<=>#

#F (x) = - ln (e ^ x-1) # #COLOR (bijeli) (aa) #, #x> 0 #

#b) #

# Int_ln2 ^ 1 (e ^ f (x) (x + 1)) dx '##ln (e-1) #

#F (x) = - ln (e ^ x-1) #,#x> 0 #

#F "(x) = - e ^ x / (e ^ x-1) #

# F "(x) = x ^ e / (e ^ x-1),> = (x + 1) / (e ^ x-1) # bez toga ''#=#''

• # Int_ln2 ^ 1f '(x) dx> int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (e ^ x-1) # dx #<=>#

# Int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (e ^ x-1) dx '## - f (x) _ ln2 ^ 1-f (1) + f (0) = u (e-1) #

Međutim, imamo

# E ^ f (x) (x + 1) = E ^ (- ln (e ^ x-1)), (x + 1) = (x + 1) / (e ^ x-1) #

i tako, # Int_ln2 ^ 1 (x + 1) e ^ f (x) dx '##ln (e-1) #