Ako je f (x) = x tan ^ 1, onda je f (1) što?

Odgovor:

# f (1) # gdje #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Obrazloženje:

Pretpostavljam da je pitanje #F (1) # gdje #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Inače bih liječio # Arctan # kao višestruki. Ali ovdje s eksplicitnom notacijom funkcije #F (x) * Reći ću da želimo glavnu vrijednost inverzne tangente. Kut s tangentom 1 u prvom kvadrantu je # 45 ^ circ # ili # Pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

To je kraj. Ali stavimo pitanje na stranu i usredotočimo se na ono što #arctan t # zapravo znači.

Obično mislim #tan ^ -1 (t) # ili ekvivalentno (i mislim da je bolji zapis) #arctan (t) # kao višestruki izraz, "Funkcija" arctan zapravo nije funkcija, jer je inverzna nešto periodičnog, koja zapravo ne može imati inverzu nad cijelom svojom domenom.

To je zbunjujuće za učenike i učitelje. Odjednom imamo stvari koje izgledaju kao funkcije koje zapravo ne funkcioniraju. Nekako su se uvukli ispod radara. Za postupanje s njima potrebna su nova pravila, ali ona nikada nisu izričito navedena. Matematika počinje postajati mutna kad to ne bi trebalo.

# x = arctan t # najbolje se misli o rješenjima #tan x = t. Postoji brojno brojno beskonačan broj njih, po jedan u razdoblju. Tangenta ima razdoblje od # Pi # tako da su rješenja # Pi # osim, što je mjesto gdje #pi k # dolazi od, cijeli broj # K #.

Obično napišem glavnu vrijednost obrnutog tangenta kao Arctana, s glavnim A. Nažalost, Sokrat ga "ispravlja". Ja ću to učiniti ovdje:

#t = tan x # ima rješenja

#x = arctan t = tekst {Arc} tekst {tan} (t) + pi k quad # za cijeli broj # K #.