Koja je razlika između antiderivativnog i integralnog?

Nema razlika, dvije riječi su sinonimi.

To ovisi o nekoliko stvari. Koji antivirusni, opći ili određeni? koji je cjelovit ili neodređen? I, koga pitamo?

Opći antiderivativni i neodređeni integrali:

Mnogi matematičari ne razlikuju neodređeni integralni i opći antiderivativan. U oba slučaja za funkciju # F # odgovor je #F (x) + C # gdje #F "(x) = f (x) #..

Neki (primjerice, autor udžbenika James Stewart) pravi razliku. Ono što Stewart naziva "najopćenitijim" antiderivativom # F #, priznaje različite konstante pri svakom neskladu # F #, Na primjer, on bi odgovorio da je najopćenitiji antiderivative od # 1 / x ^ 2 # je djelomično definirana funkcija:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # za #x <0 # i # (- 1) / x + C_2 # za #x> 0 #.

Neograničeni integral od # F #, u ovom tretmanu, uvijek je antiderivativan na nekom intervalu na kojem # F # je kontinuirano.

Tako #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, gdje se podrazumijeva da je domena ograničena na neki podskup pozitivnih reala ili podskupa negativnih reala.

Pojedini antivirusni lijekovi

Poseban antiderivativ od # F # je funkcija # F # (umjesto obitelji funkcija) za koje #F "(x) = f (x) #.

Na primjer:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # za #x <0 # i # (- 1) / x + 1 # za #x> 0 #.

je poseban antidervativ #F (x) = 1 / x ^ 2 #

I:

#G (x) = (- 1) / x-3 # za #x <0 # i # (- 1) / x + 6 # za #x> 0 #.

je drugačiji određeni antidervativ od #F (x) = 1 / x ^ 2 #.

Definitivni integrali

Definitivni integral od # F # iz # S # do # B # nije funkcija. To je broj.

Na primjer:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Da bi se dodatno zakomplicirale stvari, ovaj se definitivni integral može naći, koristeći Temeljnu teoremu računanja, Dio 2, pronalaženjem / neodređenim integralom / općim antiderivativom, a zatim radom neke aritmetike.)

Vaše je pitanje povezano s onim što je uistinu "ključni uvid" u razvoj računanja Isaaca Newtona i Gottfrieda Leibniza.

Fokusirajući se na funkcije koje nikada nisu negativne, ovaj uvid se može formulirati na sljedeći način: "Antiderivative se može koristiti pronaći područja (integrali) i područja (integrali) definirati to je bit temeljne teorije računanja.

Bez brige o Riemannovim sumama (uostalom, Bernhard Riemann je ionako živio gotovo 200 godina nakon Newtona i Leibnisa) i uzimajući pojam područja kao intuitivni (nedefiniran) koncept, za kontinuiranu ne-negativnu funkciju #f (x) za sve #x# s # aq x leq b #, samo zamislite definitivni integralni simbol # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # kao područje pod grafom # F # i iznad #x#-između # x = a # i # X = b #, Ako je druga funkcija # F # može se naći tako da #F "(x) = f (x) # za sve # aq x leq b #, onda # F # naziva se antiderivative od # F # tijekom intervala # A, b # i razlika #F (b) F (a) # jednaka je vrijednosti određenog integrala. To je, int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #, Ta je činjenica korisna nalaz vrijednost određenog integrala (područja) kada se može pronaći formula za antiderivativ.

Obrnuto, ako gornju granicu integralnog simbola napravimo varijablom, nazovite je # T #i definirajte funkciju # F # pomoću formule #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (tako #F (t) # je stvarno područje ispod grafikona # F # između # x = a # i # X = t #, pod pretpostavkom leq t leq b #), onda ova nova funkcija # F # je dobro definiran, diferenciran i #F '(t) = f (t) # za sve brojeve # T # između # S # i # B #, Koristili smo integral definirati antiderivative od # F #, Ta je činjenica korisna za aproksimaciju vrijednosti antiderivativnog kad se ne može pronaći formula za nju (koristeći metode numeričke integracije kao što je Simpsonovo pravilo). Primjerice, statističari ga stalno koriste pri približavanju površina ispod krivulje Normal. Vrijednosti posebne antiderivative standardne normalne krivulje često se navode u tablici u knjigama statistike.

U slučaju gdje # F # ima negativne vrijednosti, definitivni integral se mora promišljati u smislu "potpisanih područja".