Što je Taylorovo širenje e ^ (- 2x) centrirano na x = 0?

Odgovor:

#E ^ (- 2 x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / ^ 4 3x … #

Obrazloženje:

Slučaj taylorove serije proširio se #0# naziva se Maclaurinova serija. Opća formula za Maclaurinovu seriju je:

#F (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Za izradu serije za našu funkciju možemo početi s funkcijom za # E ^ x # i onda upotrijebite to kako biste shvatili formulu za #E ^ (- 2x) #.

Da bismo konstruirali Maclaurinovu seriju, moramo shvatiti n-ti derivat # E ^ x #, Ako uzmemo nekoliko izvedenica, vrlo brzo možemo vidjeti uzorak:

#F (x) = x ^ e #

#F "(x) = x ^ e #

#F '(x) = x ^ e #

Zapravo, n-ti derivat # E ^ x # je samo # E ^ x #, Možemo to uključiti u Maclaurinovu formulu:

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) X ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + X ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3) … #

Sada kada imamo Taylorovu seriju # E ^ x #, možemo jednostavno zamijeniti sve #x#s # -2 x # da biste dobili niz za #E ^ (- 2x) #:

#E ^ (- 2 x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2 x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) ^ X 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) ^ X 4 = … #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / ^ 4 3x … #

što je serija koju smo tražili.