Koje su asimptote i uklonjivi diskontinuiteti, ako ih ima, od f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Odgovor:

#F (x) * ima horizontalnu asimptotu # Y = 0 # i vertikalnu asimptotu # X = 0 #

Obrazloženje:

S obzirom na:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• Područje brojnika #sqrt (x) * je # 0, oo) #

• Područje nazivnika # e ^ x - 1 # je # (- oo, oo) #

• Nazivnik je nula kada # e ^ x = 1 #, što za stvarne vrijednosti #x# pojavljuje se samo kada # X = 0 #

Otuda domena #F (x) * je # (0, oo) #

Koristeći serijsku ekspanziju # E ^ x #, imamo:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

# boja (bijela) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

# boja (bijela) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

# boja (bijela) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Tako:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (bijelo) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (bijelo) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (bijelo) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

i:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Tako #F (x) * ima vertikalnu asimptotu # X = 0 # i horizontalnu asimptotu # Y = 0 #

graf {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6.1, 13.9, -2.92, 7.08}