Razlikovati od prvog načela x ^ 2sin (x)?

Odgovor:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # iz definicije izvedenice i uzimajući neke granice.

Obrazloženje:

pustiti #f (x) = x ^ 2 sin (x) #, Zatim

# (df) / dx = lim_ {h 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h: 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

trigonometrijskim identitetom i nekim pojednostavljenjima. Na ove četiri posljednje linije imamo četiri termina.

Prvi termin jednako 0, od

#lim_ {h 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h: 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, što se može vidjeti na pr. iz Taylorove ekspanzije ili L'Hospitalovog pravila.

Četvrti pojam također nestaje jer

#lim_ {h 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Sada drugi termin pojednostavljuje

# lim_ {h 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h: 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, od

#lim_ {h: 0} (sin (h)) / h = 1 #kao što je ovdje prikazano, ili na pr. L'Hospital's rule (vidi dolje).

treći mandat pojednostavljuje

# lim_ {h 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

koji poslije dodavanje drugog pojma daje to

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Napomena: Po pravilu bolnice L'Hospital, od # l_ {h = 0} sin (h) = 0 # i # l_ {h 0} h = 0 # i obje su funkcije različite # H = 0 #, imamo to

# lim_ {h 0} sin (h) / h = lim_ {h 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h 0} cos (h) = 1 #.

Ograničenje # lim_ {h 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # može se prikazati na sličan način.