Matematički izvesti korijene boje (bijele) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Odgovor:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # za #n = 0, 1, 2 #

Obrazloženje:

S obzirom na:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Trigonometrijska supstitucija

Budući da ovaj kubik ima #3# stvarne nule, Cardanova metoda rezultirat će izrazima koji uključuju ireducibilne kockaste korijene kompleksnih brojeva. Cardanova metoda nije pogrešna, ali nije jako prijateljska, osim ako korijeni kocke imaju jednostavan oblik.

Kao alternativu u takvim slučajevima, odlučio bih koristiti trigonometrijsku zamjenu.

Neka:

#x = k cos theta #

Trik je odabrati # K # tako da rezultirajući izraz sadrži # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Imamo:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

# boja (bijela) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

# boja (bijela) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (bijelo) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "# s # K = 2 #

#color (bijelo) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Tako:

#cos 3 theta = 1/2 #

Tako:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # za bilo koji cijeli broj # # N

Tako:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # za bilo koji cijeli broj # # N

To će dati #3# različite moguće vrijednosti #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # za #n = 0, 1, 2 #.