Kako ćete pronaći volumen čvrste tvari koja se generira okretanjem regije omeđene krivuljama y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) rotirajući oko y = 4?

Odgovor:

# V = 685 / # 32pi kubičnih jedinica

Obrazloženje:

Prvo skicirajte grafikone.

# Y_1 = x ^ 2-x #

# Y_2 = 3 x ^ 2 #

#x#-intercept

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # I to imamo # {(X = 0), (x-1):} #

Tako su presretnuti razgovori #(0,0)# i #(1,0)#

Nabavite vrh:

# Y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Dakle, vrh je na #(1/2,-1/4)#

Ponovi prethodnu:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # I to imamo # {(X = sqrt (3)), (x = -sqrt (3))} #

Tako su presretnuti razgovori # (Sqrt (3), 0) # i # (- sqrt (3), 0) #

# Y_2 = 3 x ^ 2 => X = y_2-3 ^ 2 #

Dakle, vrh je na #(0,3)#

Proizlaziti:

Kako dobiti volumen? Koristit ćemo disk metoda!

Ova metoda je jednostavno: # "Volume" = piint_a ^ po ^ 2dx #

Ideja je jednostavna, ali morate je koristiti pametno.

I to je ono što ćemo učiniti.

Nazovimo naš volumen # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

Napomena: Uzimam # (4-il) # jer # Y # je samo udaljenost od #x#-osu na krivulji, dok želimo udaljenost od crte # Y = 4 # do krivulje!

Sada da nađemo # S # i # B #, izjednačavamo # Y_1 # i # Y_2 # i onda riješiti za #x#

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2 x-3), (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1.5), (x-1):} #

Od # S # dolazi prije # B #, # => A = -1 # i # B = 1,5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Isto vrijedi i za # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => Piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2 + 2x ^ x ^ 4) dx = pi x + (2 x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1,5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685/24 - 685/96-boje (plava) ((685pi) / 32) #