Što je int (cos (x)) ^ 4 dx?

Odgovor:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8s (2x) + sin (4x) #

Obrazloženje:

Iako se u početku čini da je stvarno dosadan integral, zapravo možemo iskoristiti trigonometrijske identitete kako bismo razbili ovaj integralni dio u niz jednostavnih integrala s kojima smo više upoznati.

Identitet koji ćemo koristiti je:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

To nam omogućuje manipulaciju naše jednadžbe kao takve:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Sada možemo ponovno primijeniti naše pravilo kako bismo uklonili cos ^ 2 (2x) unutar zagradog:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Sada zapravo imamo prilično jednostavan problem integracije, možemo ga dijeliti u naš zagradu tako da:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Svakim od tih triglera rješava se jednostavno pravilo #int cos (ax) dx = 1 / a sin (sjekira) #.

Tako, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8s (2x) + sin (4x) #