Što je Taylorov niz f (x) = arctan (x)?

#F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n ^ {x {2n + 1}} / {2n + 1} #

Pogledajmo neke pojedinosti.

#F (x) = arctanx #

#F "(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1/1 {- (- x ^ 2)} #

Zapamtite da su geometrijske snage serije

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

zamjenom #x# po # -X ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Tako, #F "(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Integracijom, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

stavljanjem integralnog znaka unutar zbroja, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

prema pravilu Power, # = Sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n ^ {x {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Od #F (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

Stoga, #F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n ^ {x {2n + 1}} / {2n + 1} #