Koji je kvadratni korijen od 5?

Kvadratni korijen od #5# ne može se pojednostaviti otac nego što je već, pa evo # Sqrt5 # do deset decimalnih mjesta:

# Sqrt5 ~~ 2,2360679775 … #

Odgovor:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # je iracionalan broj.

Obrazloženje:

Svi pozitivni brojevi normalno imaju dva kvadratna korijena, pozitivnu i negativnu veličinu. Označavamo pozitivni (a.k.a. principal) kvadratni korijen od # # N po #sqrt (n) #.

Kvadratni korijen broja # # N je broj #x# tako da # x ^ 2 = n #, Pa ako # x ^ 2 = n # onda također # (- x) ^ 2 = n #.

Međutim, popularna uporaba je da se "kvadratni korijen" odnosi na pozitivan.

Pretpostavimo da imamo pozitivan broj #x# koji zadovoljava:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Zatim pomnožite obje strane s # (2 x +) * dobivamo:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Tada oduzimanje # 2x # s obje strane dobivamo:

# X ^ 2-5 #

Tako smo pronašli:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

# boja (bijela) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))) #

Kako se ova neprekinuta frakcija ne može prekinuti, to možemo reći #sqrt (5) * ne može se predstaviti kao završna frakcija - tj. racionalni broj. Tako #sqrt (5) * je iracionalan broj malo manji od #2 1/4 = 9/4#, Za bolje racionalne aproksimacije možete prekinuti nastavak frakcije nakon više termina.

Na primjer:

#sqrt (5) ~ ~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Raspakiranje tih nastavljenih frakcija može biti pomalo zamorno, pa općenito preferiram upotrebu drugačije metode, to jest ograničavajući omjer cjelobrojnog slijeda definiranog rekurzivno.

Definirajte slijed prema:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Prvih nekoliko pojmova su:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Omjer između pojmova će težiti # 2 + sqrt (5) *.

Tako nalazimo:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #