Odgovor:
Pogledajte objašnjenje
Obrazloženje:
Lako je to vidjeti
# X ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 2 = 9 ^ 0 => (x ^ 2-9) ^ 2-0 #
Stoga to imamo # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 ili x = -3
Budite svjesni da korijeni # X_1 = 3, x_2 = -3 # imati mnoštvo #2#
jer imamo polinom četvrtog stupnja.
Odgovor:
#x = + -3
Obrazloženje:
Normalno, da bi se riješio polinom stupnja 4, kao što je onaj ovdje, trebate napraviti sintetičku podjelu i koristiti puno teorema i pravila - to postaje pomalo neuredno. Međutim, ovaj je poseban jer ga zapravo možemo učiniti kvadratnom jednadžbom.
To činimo tako što ćemo to učiniti #u = x ^ 2 #, Ne brini gdje # U # došao iz; to je samo nešto što koristimo kako bismo pojednostavili problem. S #u = x ^ 2 #, problem postaje
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Zar to ne izgleda bolje? Sada imamo posla s lijepom, jednostavnom kvadratnom jednadžbom. Zapravo, ovo je savršen trg; drugim riječima, kada ga faktor, dobivate # (U-9) ^ 2 #, Naravno, mogli bismo koristiti kvadratnu formulu ili dovršiti kvadrat kako bismo riješili ovu jednadžbu, ali obično niste dovoljno sretni da imate savršen kvadratni kvadrat - pa iskoristite. U ovom trenutku imamo:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Da bismo riješili, uzmemo kvadratni korijen s obje strane:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
A to pojednostavljuje
# u-9 = 0 #
Naposljetku, dodamo 9 objema stranama
#u = 9 #
Super! Skoro tamo. Međutim, naš izvorni problem ima #x#u njemu i naš odgovor ima # U # u tome. Moramo se preobratiti #u = 9 # u #x = # nešto. Ali nemojte se bojati! Zapamti na početku smo rekli neka pusti #u = x ^ 2 #? Sada kad imamo svoje # U #, samo ga ponovno uključimo kako bismo pronašli naš #x#, Tako, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 (jer #(-3)^2 = 9# i #(3)^2 = 9#)
Stoga su naša rješenja #x = 3 # i #x = -3 #, Zapamtite to #x = 3 # i #x = -3 # su dvostruki korijeni, tako da su tehnički svi korijeni #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
