Dva satelita P_ "1" i P_ "2" okreću se u orbitama radijusa R i 4R. Omjer maksimalne i minimalne kutne brzine linije koja spaja P_ "1" i P_ "2" je ??

Odgovor:

#-9/5#

Obrazloženje:

Prema Keplerovom trećem zakonu, # T ^ 2 propto R ^ 3 podrazumijeva omega propto R ^ {- 3/2} #, ako je kutna brzina vanjskog satelita #omega#da je unutarnje #omega puta (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Razmotrimo # T = 0 # biti trenutak kada su dva satelita kolinearni s matičnom planetom, i uzmimo ovu zajedničku liniju kao #X# os. Zatim, koordinate dva planeta u vremenu # T # su # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # i # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, respektivno.

pustiti # Teta # biti kut koji linija spaja dva satelita čini s #X# os. Lako je to vidjeti

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Diferencijalni prinosi

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 puta #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega t (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) #

Tako

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t) t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) #

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) podrazumijeva #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) podrazumijeva #

# (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)) equiv 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Gdje je funkcija

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

ima derivat

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

te je stoga monotono opadanje u intervalu #-1,1#.

Dakle, kutna brzina # (d theta) / dt # je maksimalno kada #cos (7 omega t) # je minimalan i obrnuto.

Tako, # ((the the)) / dt) "max" = 12 omega (2 - 3 puta (-1)) / (17-8 puta (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega puta 5/25 = 12/5 omega #

# (d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 puta 1) / (17-8 puta 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega puta (-1) / 9 = -4/3 omega #

i stoga je omjer između ta dva:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

Bilješka Činjenica da se # (d theta) / dt # znak promjene je uzrok takozvanog retrogradnog gibanja